史寧中主編的《基本概念與運(yùn)算法則》主要講述小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的一些核心問(wèn)題，在理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上，探討實(shí)現(xiàn)“四基”課程目標(biāo)、適合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)方法。“問(wèn)題篇”包括30個(gè)問(wèn)題，大部分問(wèn)題來(lái)自數(shù)學(xué)教育工作者和教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師，《基本概念與運(yùn)算法則》嘗試以回答問(wèn)題的方式進(jìn)行講述，希望讀者能夠通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的理解把握小學(xué)數(shù)學(xué)的核心�！霸掝}篇”設(shè)定了30個(gè)話題，拓展對(duì) 小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的內(nèi)容都是最基礎(chǔ)的、最本質(zhì)的。因此，本書的內(nèi)容不僅適用于小學(xué)數(shù)學(xué)教師，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師、學(xué)生家長(zhǎng)甚至對(duì)大學(xué)生和大學(xué)教師都有參考價(jià)值。本書還可作為校本研修的教材或參考書。
問(wèn)題篇
第一部分 數(shù)的認(rèn)識(shí)
問(wèn)題1 數(shù)量是什么？數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是什么？
數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象／數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少
問(wèn)題2 如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)？
數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象／對(duì)應(yīng)的方法／定義的方法
問(wèn)題3 表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么？
表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)符號(hào)和數(shù)位／十進(jìn)位的數(shù)位法則是依次相差十倍／數(shù)位的名稱／自然數(shù)集合
問(wèn)題4 如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)的性質(zhì)？
依據(jù)性質(zhì)可以對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類／奇數(shù)與偶數(shù)／素?cái)?shù)與合數(shù)
問(wèn)題5 如何認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)？
負(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的自然數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反／絕對(duì)值符號(hào)
問(wèn)題6 如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)？
分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算／整體與等分關(guān)系／整比例關(guān)系
問(wèn)題7 如何認(rèn)識(shí)小數(shù)？
問(wèn)題篇
第一部分 數(shù)的認(rèn)識(shí)
問(wèn)題1 數(shù)量是什么？數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是什么？
數(shù)量是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物量的抽象／數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多與少
問(wèn)題2 如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)？
數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)的關(guān)系是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象／對(duì)應(yīng)的方法／定義的方法
問(wèn)題3 表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么？
表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)符號(hào)和數(shù)位／十進(jìn)位的數(shù)位法則是依次相差十倍／數(shù)位的名稱／自然數(shù)集合
問(wèn)題4 如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)的性質(zhì)？
依據(jù)性質(zhì)可以對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類／奇數(shù)與偶數(shù)／素?cái)?shù)與合數(shù)
問(wèn)題5 如何認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)？
負(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的自然數(shù)在數(shù)量上相等，表示的意義相反／絕對(duì)值符號(hào)
問(wèn)題6 如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)？
分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算／整體與等分關(guān)系／整比例關(guān)系
問(wèn)題7 如何認(rèn)識(shí)小數(shù)？
重新理解十進(jìn)制／線性組合／基底／用小數(shù)定義有理數(shù)和無(wú)理數(shù)
問(wèn)題8 什么是數(shù)感？
數(shù)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系／抽象的核心是舍去現(xiàn)實(shí)背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實(shí)背景
第二部分 數(shù)的運(yùn)算
問(wèn)題9 如何解釋自然數(shù)的加法運(yùn)算？
有兩種方法解釋自然數(shù)的加法／對(duì)應(yīng)的方法／定義的方法／如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想
問(wèn)題10 為什么說(shuō)減法是加法的逆運(yùn)算？
四則運(yùn)算源于加法／減法是加法的逆運(yùn)算／相反數(shù)／整數(shù)集合
問(wèn)題11 乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算嗎？
自然數(shù)集合上的乘法／整數(shù)集合上的乘法不是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算
問(wèn)題12 整數(shù)集合上的乘法是如何得到的？
整數(shù)集合上的乘法運(yùn)算是自然數(shù)集合上乘法運(yùn)算的推廣／為什么負(fù)負(fù)為正／運(yùn)算與算理等價(jià)
問(wèn)題13 為什么說(shuō)除法是乘法的逆運(yùn)算？
如何表示除法／得到的商是整數(shù)／得到的商不是整數(shù)／有理數(shù)集合／倒數(shù)
問(wèn)題14 為什么混合運(yùn)算要先乘除后加減？
運(yùn)算次序有兩個(gè)基本法則／所有混合運(yùn)算都是在講述兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事
問(wèn)題15 為什么要學(xué)習(xí)估算？
精算有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力／估算問(wèn)題要有合適的實(shí)際背景／合理的量綱／許多估算問(wèn)題是為了得到上界或者下界
問(wèn)題16 什么是符號(hào)意識(shí)？
概念符號(hào)／用字母表示數(shù)／基于符號(hào)的運(yùn)算／符號(hào)的表達(dá)具有一般性／關(guān)系符號(hào)／代數(shù)學(xué)的開(kāi)始
問(wèn)題17 方程的本質(zhì)是什么？
方程的本質(zhì)是描述現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系／用字母表示未知的量／解方程的基本原則是利用等式的性質(zhì)
問(wèn)題18 小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些模型？
模型的現(xiàn)實(shí)性／總量模型／路程模型／植樹(shù)模型／工程模型
問(wèn)題19 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題有什么不同？
從“雙基”到“四基”／發(fā)現(xiàn)問(wèn)題／創(chuàng)新意識(shí)／提出問(wèn)題／創(chuàng)新能力／語(yǔ)言表述／符號(hào)表達(dá)
第三部分 圖形與幾何
問(wèn)題20 為什么要把“空間與圖形”修改為“圖形與幾何”？
時(shí)間和空間是人們認(rèn)識(shí)世界最為基本的概念／幾何學(xué)是研究如何構(gòu)建空間度量方法的學(xué)科／歐幾里得幾何／平直的概念／直線距離
問(wèn)題21 如何理解點(diǎn)、線、面、體、角？
看到的物體都是立體的／點(diǎn)、線、面、體、角是從立體圖形中抽象出來(lái)的概念／如何用描述的方法給出幾何概念
問(wèn)題22 認(rèn)識(shí)圖形的教育價(jià)值是什么？
更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)圖形分類／制訂分類標(biāo)準(zhǔn)／遵循標(biāo)準(zhǔn)／培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力
問(wèn)題23 如何理解長(zhǎng)度、面積、體積？
長(zhǎng)度是對(duì)一維空間圖形的度量／面積是對(duì)二維空間圖形的度量／體積是對(duì)三維空間圖形的度量／度量的基礎(chǔ)是兩點(diǎn)間的直線距離
問(wèn)題24 如何理解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱？圖形的運(yùn)動(dòng)／保持任意兩點(diǎn)間直線距離不變／剛體運(yùn)動(dòng)／參照物
問(wèn)題25 如何理解空間觀念和幾何直觀？
空間觀念的本質(zhì)是空間想象力／直觀是對(duì)事物的直接判斷，是經(jīng)驗(yàn)層面的／
直觀能力的養(yǎng)成依賴本人參與其中的思維活動(dòng)或者實(shí)踐活動(dòng)／幾何直觀的作用不局限于數(shù)學(xué)
第四部分統(tǒng)計(jì)與概率
問(wèn)題26 為什么要強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)分析觀念？
統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù)／描述統(tǒng)計(jì)／推斷統(tǒng)計(jì)／通過(guò)樣本推斷總體
問(wèn)題27 三種統(tǒng)計(jì)圖之間有什么共性和差異？
直觀地表述數(shù)據(jù)／條形統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量的多少／扇形統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量所占的比例／折線統(tǒng)計(jì)圖更有利于表述數(shù)量的變化
問(wèn)題28 如何理解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性？
隨機(jī)性與不確定性是有所區(qū)別的／減少人為干擾／減少系統(tǒng)誤差／估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的重要手段／最大似然估計(jì)／通過(guò)樣本頻率估計(jì)概率
問(wèn)題29 平均數(shù)的意義是什么？
平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是一個(gè)非常重要的概念／誤差模型／隨機(jī)性誤差會(huì)因正負(fù)抵消而大大減少／樣本平均數(shù)是真值的無(wú)偏估計(jì)
問(wèn)題30 什么是概率？如何得到概率？
概率是指隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大�。怕适俏粗模烙�(jì)概率／定義概率／古典概率模型
話題篇
話題1 幾種古代的數(shù)字符號(hào)
話題2 數(shù)量的本質(zhì)
話題3 數(shù)量多少的比較
話題4 十進(jìn)制的自然數(shù)
話題5 十二進(jìn)制與六十進(jìn)制
話題6 公理體系定義的自然數(shù)
話題7 借助算術(shù)公理體系解釋加法運(yùn)算
話題8 公理體系的必要性與數(shù)學(xué)證明的形式
話題9 加法運(yùn)算和減法運(yùn)算性質(zhì)的證明
話題10 用符號(hào)表示分類
話題11 素?cái)?shù)的故事
話題12 負(fù)數(shù)的意義
話題13 有理數(shù)與無(wú)理數(shù)
話題14 利用反證法證明根號(hào)2是無(wú)理數(shù)
話題15 用小數(shù)定義有理數(shù)和無(wú)理數(shù)
話題16 數(shù)學(xué)證明的思維過(guò)程
話題17 邏輯推理的思維起點(diǎn)
話題18 數(shù)學(xué)歸納法的論證邏輯
話題19 乘法的定義
話題20 除法運(yùn)算規(guī)定0不能為除數(shù)
話題21 除數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)的除法運(yùn)算
話題22 數(shù)學(xué)中的符號(hào)表達(dá)
話題23 路程模型中的絕對(duì)時(shí)間與相對(duì)時(shí)間
話題24 幾何學(xué)的由來(lái)
話題25 歐幾里得《幾何原本》
話題26 幾何基本概念的進(jìn)一步抽象
話題27 長(zhǎng)度單位的確定
話題28 曹沖稱象與浮力
話題29 統(tǒng)計(jì)學(xué)的由來(lái)
話題30 概率的定義和估計(jì)
案例篇
案例1 關(guān)于問(wèn)題2“如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例2 關(guān)于問(wèn)題3“表示自然數(shù)的關(guān)鍵是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例3 關(guān)于問(wèn)題4“如何認(rèn)識(shí)自然數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例4 關(guān)于問(wèn)題5“如何認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例5 關(guān)于問(wèn)題6“如何認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例6 關(guān)于問(wèn)題7“如何認(rèn)識(shí)小數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例7 關(guān)于問(wèn)題8“什么是數(shù)感”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例8 關(guān)于問(wèn)題9“如何解釋自然數(shù)的加法運(yùn)算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例9 關(guān)于問(wèn)題1 1“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算嗎”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例10 關(guān)于問(wèn)題13“為什么說(shuō)除法是乘法的逆運(yùn)算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例11 關(guān)于問(wèn)題14“為什么混合運(yùn)算要先乘除后加減”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例12 關(guān)于問(wèn)題15“為什么要學(xué)習(xí)估算”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例13 關(guān)于問(wèn)題16“什么是符號(hào)意識(shí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例14 關(guān)于問(wèn)題17“方程的本質(zhì)是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例15 關(guān)于問(wèn)題18“小學(xué)數(shù)學(xué)中有哪些模型”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例16 關(guān)于問(wèn)題21“如何理解點(diǎn)、線、面、體、角”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例17 關(guān)于問(wèn)題23“如何理解長(zhǎng)度、面積、體積”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例18 關(guān)于問(wèn)題24“如何理解平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例19 關(guān)于問(wèn)題27“三種統(tǒng)計(jì)圖之間有什么共性和差異”的教學(xué)設(shè)計(jì)
案例20 關(guān)于問(wèn)題29“平均數(shù)的意義是什么”的教學(xué)設(shè)計(jì)
問(wèn)題15 為什么要學(xué)習(xí)估算？
在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，人們遇到的大量計(jì)算都是估算，因此應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生知道估算。此外，精算在本質(zhì)上是對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，估算在本質(zhì)上是對(duì)于數(shù)量的運(yùn)算，因此，學(xué)習(xí)估算對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感是有好處的。法國(guó)腦科學(xué)家研究了人們?cè)谶M(jìn)行精算和估算時(shí)大腦的反射部位，研究結(jié)果表明：精算主要激活腦左額葉下部，與大腦的語(yǔ)言區(qū)有明顯重疊；估算主要激活腦雙側(cè)頂葉下部，與大腦運(yùn)動(dòng)知覺(jué)區(qū)聯(lián)系密切。因此，就教育價(jià)值而言，根據(jù)腦科學(xué)家的研究成果，很可能會(huì)有這樣的區(qū)分：精算有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力，估算有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力。顯然，抽象能力與直觀能力是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐中必不可少的兩種能力，這兩種能力都是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的根本，所以，小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容不僅要有精算也要有估算。同時(shí)，根據(jù)上面所說(shuō)的道理還可以推斷：估算不是近似計(jì)算，更不是精算以后的四舍五入。此外，估算也不是估計(jì)：估算也是需要算的。據(jù)此，我們可以得到一個(gè)基本結(jié)論：小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教育，估算問(wèn)題要有合適的實(shí)際背景，否則就失去了估算的教育意義。
首先，估算往往要涉及在哪個(gè)數(shù)位上進(jìn)行計(jì)算的問(wèn)題，因此，需要在計(jì)算之前針對(duì)實(shí)際背景選擇合理的量綱。選擇量綱的過(guò)程可以讓學(xué)生感悟估算是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的度量，進(jìn)而感悟如何進(jìn)行估算才是合理的。所謂量綱就是問(wèn)題8中所說(shuō)的數(shù)量單位，比如，我們考慮距離的度量：如果要度量北京到紐約的距離，那么用萬(wàn)公里比較合適；如果要度量長(zhǎng)春到北京的距離，那么用百公里比較合適；如果要度量教室的大小，那么用米比較合適；如果要度量書桌的大小，那么用厘米比較合適。確定了量綱以后，在具體計(jì)算時(shí)，就可以在量綱的整數(shù)位上進(jìn)行估算，至多以量綱為基準(zhǔn)取小數(shù)點(diǎn)后一位進(jìn)行計(jì)算，一個(gè)類似的例子可以參見(jiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的例6。
其次，對(duì)于已經(jīng)給定了數(shù)量，許多估算問(wèn)題是為了得到上界或者下界，為此，需要對(duì)給定的數(shù)量進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小，然后湊整計(jì)算。
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