沒(méi)有微積分，我們就不會(huì)擁有手機(jī)、計(jì)算機(jī)和微波爐，也不會(huì)擁有收音機(jī)、電視、為孕婦做的超聲檢查，以及為迷路的旅行者導(dǎo)航的GPS（定位）。我們更無(wú)法分裂原子、破解人類基因組或者將宇航員送上月球，甚至有可能無(wú)緣于《獨(dú)立宣言》。

有一種罕見(jiàn)而有趣的歷史觀點(diǎn)認(rèn)為，世界被一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)分支徹底改變了。一個(gè)初與形狀相關(guān)的理論，終又如何重塑了文明？

我們可以從物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼的一句妙語(yǔ)中洞見(jiàn)這個(gè)問(wèn)題的答案，這句話是他在與小說(shuō)家赫爾曼·沃克討論曼哈頓計(jì)劃時(shí)說(shuō)的。當(dāng)時(shí)沃克正在為他計(jì)劃寫作的一部關(guān)于“二戰(zhàn)”的長(zhǎng)篇小說(shuō)做調(diào)研，他去加州理工學(xué)院采訪了參與過(guò)原研發(fā)的物理學(xué)家，費(fèi)曼就是其中之一。采訪結(jié)束臨別之際，費(fèi)曼問(wèn)沃克是否了解微積分。沃克坦承他并不了解，于是費(fèi)曼說(shuō)道：“你好學(xué)學(xué)微積分，它是上帝的語(yǔ)言�！�

宇宙是高度數(shù)學(xué)化的，但原因尚無(wú)人知曉。這或許是包含我們?cè)趦?nèi)的宇宙的可行的存在方式，因?yàn)榉菙?shù)學(xué)化的宇宙無(wú)法庇護(hù)能夠提出這個(gè)問(wèn)題的智慧生命。無(wú)論如何，一個(gè)神秘且不可思議的事實(shí)是，我們的宇宙遵循的自然律終總能用微積分的語(yǔ)言和微分方程的形式表達(dá)出來(lái)。這類方程能描述某個(gè)事物在這一刻和在下一刻之間的差異，或者某個(gè)事物在這一點(diǎn)和在與該點(diǎn)無(wú)限接近的下一個(gè)點(diǎn)之間的差異。盡管細(xì)節(jié)會(huì)隨著我們探討的具體內(nèi)容而有所不同，但自然律的結(jié)構(gòu)總是相同的。這個(gè)令人驚嘆的說(shuō)法也可以表述為，似乎存在著某種類似宇宙密碼的東西，即一個(gè)能讓萬(wàn)物時(shí)時(shí)處處不斷變化的操作。微積分利用了這種規(guī)則，并將其表述出來(lái)。

艾薩克·牛頓是早瞥見(jiàn)這一宇宙奧秘的人。他發(fā)現(xiàn)行星的軌道、潮汐的韻律和炮彈的彈道都可以用一組微分方程來(lái)描述、解釋和預(yù)測(cè)。如今，我們把這些方程稱為牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律。自牛頓以來(lái)，每當(dāng)有新的宇宙奧秘被揭開(kāi)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)同樣的模式一直有效。從古老的土、空氣、火和水元素到新近的電子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有無(wú)生命的東西都遵從微分方程的規(guī)則。我敢打賭，這就是費(fèi)曼說(shuō)“微積分是上帝的語(yǔ)言”時(shí)想要表達(dá)的意思。如果有什么東西稱得上宇宙的奧秘，那么非微積分莫屬。

人類在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)了這種奇怪的語(yǔ)言（先是在幾何學(xué)的隱秘角落里，后來(lái)是在宇宙密碼中），然后學(xué)會(huì)熟練地運(yùn)用它，并破譯了它的習(xí)語(yǔ)和微妙之處，終利用它的預(yù)測(cè)能力去重構(gòu)世界。

這是本書的中心論點(diǎn)。

如果這個(gè)論點(diǎn)是正確的，那么它意味著關(guān)于生命、宇宙和萬(wàn)物的問(wèn)題的答案并不是42，為此我要向道格拉斯·亞當(dāng)斯和《銀河系漫游指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫游指南》中的一臺(tái)計(jì)算機(jī)）的解題思路是正確的，因?yàn)橛钪娴膴W秘確實(shí)是一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題。

費(fèi)曼的那句“微積分是上帝的語(yǔ)言”的妙語(yǔ)，引出了許多深?yuàn)W的問(wèn)題。什么是微積分？人類如何斷定它是上帝的語(yǔ)言（或者說(shuō)，宇宙基于這種語(yǔ)言在運(yùn)轉(zhuǎn)）？什么是微分方程？在牛頓的時(shí)代和我們的時(shí)代，微分方程為世界帶來(lái)了什么？后，這些故事和觀點(diǎn)如何能被有趣且清楚易懂地傳達(dá)給像赫爾曼·沃克那樣的友善讀者呢，他們勤于思考、充滿好奇心、知識(shí)淵博但幾乎沒(méi)有學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)？

沃克在他與費(fèi)曼邂逅故事的結(jié)尾部分寫道，他在14 年里始終沒(méi)有抽出時(shí)間學(xué)習(xí)微積分。他的關(guān)于“二戰(zhàn)”的長(zhǎng)篇小說(shuō)從原計(jì)劃的一部變成了兩部——《戰(zhàn)爭(zhēng)風(fēng)云》和《戰(zhàn)爭(zhēng)與回憶》，每部都長(zhǎng)達(dá)1 000 頁(yè)左右。在完成這兩部小說(shuō)后，他試圖通過(guò)閱讀像《微積分一點(diǎn)通》這樣的書自學(xué)微積分，但效果并不好。他翻閱了幾本教科書，用他自己的話說(shuō)，就是希望“遇到一本合適的書，它可以幫助像我這樣對(duì)數(shù)學(xué)幾乎一竅不通

的人。我在青少年時(shí)期產(chǎn)生了探尋存在之意義的渴求，大學(xué)期間就只學(xué)習(xí)了文學(xué)與哲學(xué)等人文學(xué)科，所以我并不知道別人口中艱澀、無(wú)趣、毫無(wú)用處的微積分竟然是上帝的語(yǔ)言”。在發(fā)現(xiàn)自己看不懂教科書之后，他聘請(qǐng)了一位以色列的數(shù)學(xué)家教，希望能跟著他學(xué)點(diǎn)兒微積分，順便提升一下希伯來(lái)語(yǔ)口語(yǔ)水平，但這兩個(gè)愿望都落空了。后，絕望的他旁聽(tīng)了高中的微積分課程，但因?yàn)檫M(jìn)度落后太多，幾個(gè)月后他不得不放棄。在他走出教室時(shí)，孩子們一起為他鼓掌，他說(shuō)這就像對(duì)一場(chǎng)可憐的表演報(bào)以同情的掌聲。

我之所以寫作本書，就是為了讓每個(gè)人都能了解關(guān)于微積分的精彩的思想和故事。我們沒(méi)必要采用赫爾曼·沃克的方法去學(xué)習(xí)人類歷史上這個(gè)具有里程碑意義的學(xué)科，盡管微積分是人類具啟迪性的集體成就之一。我們不必為了理解微積分的重要性而學(xué)習(xí)如何做運(yùn)算，就像我們不必為了享用美食而學(xué)習(xí)如何做佳肴一樣。我將借助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋我們需要了解的。我也會(huì)給你們介紹有史以來(lái)

精致的一些方程和證明，就像我們?cè)趨⒂^畫廊的時(shí)候不會(huì)錯(cuò)過(guò)其中的代表作一樣。至于赫爾曼·沃克，在我寫作本書的時(shí)候，他已經(jīng)103 歲了。我不知道他有沒(méi)有學(xué)會(huì)微積分，如果還沒(méi)有，這本書就很適合沃克先生。

現(xiàn)在你應(yīng)該很清楚，我將從應(yīng)用數(shù)學(xué)家的角度講述微積分的故事和重要性。而數(shù)學(xué)史家則會(huì)選擇不同的角度，純粹數(shù)學(xué)家亦然。作為一名應(yīng)用數(shù)學(xué)家，真正吸引我的是我們周圍的現(xiàn)實(shí)世界和我們頭腦中的理想世界之間的相互作用。外界的現(xiàn)象引導(dǎo)著我們提出數(shù)學(xué)問(wèn)題；反過(guò)來(lái)，我們的數(shù)學(xué)想象有時(shí)也會(huì)預(yù)言現(xiàn)實(shí)世界中的事情。當(dāng)這真正發(fā)生時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生不可思議的效果。

要想成為一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，既要有外向型思維，又要有廣博的知識(shí)。對(duì)我們這個(gè)領(lǐng)域的人來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)并不是一個(gè)由自我附和的定理和證明構(gòu)成的原始、封閉的世界。7 我們會(huì)欣然接受各種各樣的學(xué)科：哲學(xué)，政治學(xué)，科學(xué)，歷史，醫(yī)學(xué)，等等。所以，我想給大家講述的故事是：由微積分主宰的世界。

這是一種比以往更寬泛的微積分觀，包含了數(shù)學(xué)和相鄰學(xué)科中的許多分支，它們要么是微積分的“表兄弟”，要么是微積分的“副產(chǎn)品”。因?yàn)檫@種“大帳篷”觀是非常規(guī)的，所以我要確保它不會(huì)造成任何混淆。比如，我在前文中說(shuō)過(guò)，如果沒(méi)有微積分，我們就不會(huì)擁有電腦和手機(jī)等，我的意思當(dāng)然不是說(shuō)微積分本身創(chuàng)造了所有這些奇跡。事實(shí)遠(yuǎn)非如此，科學(xué)和技術(shù)是必不可少的搭檔，或者可以說(shuō)是這出大戲的主角。我只想說(shuō)，盡管微積分往往扮演的是配角，但也為塑造我們的世界做出了重要貢獻(xiàn)。

以無(wú)線通信的發(fā)展史為例。它開(kāi)始于邁克爾·法拉第和安德烈·瑪那些關(guān)于磁體、電流及其不可見(jiàn)力場(chǎng)的重要事實(shí)將仍不為人所知，無(wú)線通信的可能性也永遠(yuǎn)無(wú)法實(shí)現(xiàn)。所以，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)在這里顯然起到了不可或缺的作用。

但是，微積分同樣很重要。19 世紀(jì)60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數(shù)學(xué)物理學(xué)家，將電磁場(chǎng)的基本實(shí)驗(yàn)定律改寫為一種可進(jìn)行微積分運(yùn)算的符號(hào)形式。經(jīng)過(guò)一番變換，他得到了一個(gè)毫無(wú)意義的方程，顯然有某種東西缺失了。麥克斯韋懷疑安培定律是罪魁禍?zhǔn)�，并嘗試修正它，于是他在自己的方程中加入了一個(gè)新項(xiàng)——可以化解矛盾的假想電流，然后又利用微積分做了一番運(yùn)算。這次他得到了一個(gè)合理的結(jié)果——一個(gè)簡(jiǎn)潔的波動(dòng)方程9，它與描述池塘中漣漪擴(kuò)散的方程很像。只不過(guò)麥克斯韋方程還預(yù)言了一種新波的存在，這種波是由相互作用的電場(chǎng)和磁場(chǎng)產(chǎn)生的。一個(gè)變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)變化的磁場(chǎng)，一個(gè)變化的磁場(chǎng)又會(huì)產(chǎn)生一個(gè)變化的電場(chǎng)，以此類推，每個(gè)場(chǎng)都會(huì)引導(dǎo)另一個(gè)場(chǎng)向前運(yùn)動(dòng)，一起以行波的形式向外傳遞能量。當(dāng)麥克斯韋計(jì)算這種波的速度時(shí)，他發(fā)現(xiàn)它是以光速運(yùn)動(dòng)的，這是歷史上令人的時(shí)刻之一。因此，他不僅利用微積分預(yù)測(cè)出電磁波的存在，還解開(kāi)了一個(gè)古老的謎題：光的性質(zhì)是什么？他意識(shí)到，光就是一種電磁波。

麥克斯韋的電磁波預(yù)測(cè)促使海因里�！ず掌澰�1887 年做了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，從而證明了電磁波的存在。10 年后，尼古拉·特斯拉建造了個(gè)無(wú)線電通信；又過(guò)了5 年，伽利爾摩·馬可尼發(fā)送了份跨越大西洋的無(wú)線電報(bào)。接下來(lái)，電視、手機(jī)和其他設(shè)備也陸續(xù)出現(xiàn)了。

顯然，微積分不可能獨(dú)立做到這。但同樣顯而易見(jiàn)的是，如果沒(méi)有微積分，這就不會(huì)發(fā)生。或者更準(zhǔn)確地說(shuō)，即時(shí)有可能，也要很久之后才會(huì)實(shí)現(xiàn)。