目錄
前言
第1章 函數(shù)、極限與連續(xù) 1
1.1 函數(shù) 1
1.1.1 集合、區(qū)間、鄰域 1
1.1.2 函數(shù)的概念 2
1.1.3 函數(shù)的特性 4
習題1.1 6
1.2 初等函數(shù) 7
1.2.1 反函數(shù) 7
1.2.2 基本初等函數(shù) 7
1.2.3 復合函數(shù) 9
1.2.4 初等函數(shù) 10
1.2.5 雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) 10
習題1.2 12
1.3 數(shù)列的極限 12
1.3.1 數(shù)列極限的概念 13
1.3.2 數(shù)列極限的性質(zhì) 15
習題1.3 17
1.4 函數(shù)的極限 18
1.4.1 當x→∞時，函數(shù)f(x)的極限 18
1.4.2 當x→x0時，函數(shù)f(x)的極限 20
1.4.3 函數(shù)極限的性質(zhì) 23
習題1.4 24
1.5 無窮大與無窮小 25
1.5.1 無窮小量 25
1.5.2 無窮大量 27
1.5.3 無窮大量與無窮小量的關系 28
習題1.5 29
1.6 極限的運算法則 29
習題1.6 33
1.7 極限存在準則及兩個重要極限 34
1.7.1 極限存在準則 34
1.7.2 兩個重要極限 36
習題1.7 39
1.8 無窮小量階的比較 40
習題1.8 42
1.9 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 42
1.9.1 函數(shù)的連續(xù)性 42
1.9.2 函數(shù)的間斷點 44
習題1.9 47
1.10 連續(xù)函數(shù)的運算及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 48
1.10.1 連續(xù)函數(shù)的四則運算 48
1.10.2 反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性 48
1.10.3 初等函數(shù)的連續(xù)性 49
1.10.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 51
1.10.5 函數(shù)的一致連續(xù)性 53
習題1.10 54
總習題1 55
第2章 導數(shù)與微分 57
2.1 導數(shù)的概念 57
2.1.1 引例 57
2.1.2 導數(shù)的定義 59
2.1.3 求導數(shù)舉例 62
2.1.4 導數(shù)的幾何、物理、化學意義 63
2.1.5 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系 65
習題2.1 66
2.2 函數(shù)的求導法則 67
2.2.1 導數(shù)的四則運算法則 67
2.2.2 反函數(shù)的導數(shù) 69
2.2.3 復合函數(shù)的求導法則 71
習題2.2 75
2.3 高階導數(shù) 76
習題2.3 79
2.4 隱函數(shù)的導數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 79
2.4.1 隱函數(shù)的導數(shù) 79
2.4.2 對數(shù)求導法 81
2.4.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 82
2.4.4 相關變化率 85
習題2.4 86
2.5 函數(shù)的微分 87
2.5.1 微分的定義 87
2.5.2 微分的幾何意義 89
2.5.3 基本初等函數(shù)的微分公式和微分的運算法則 90
2.5.4 微分在近似計算中的應用 92
習題2.5 94
總習題2 95
第3章 中值定理與導數(shù)的應用 97
3.1 中值定理 97
3.1.1 羅爾(Rolle)定理 97
3.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 99
3.1.3 柯西(Cauchy)中值定理 103
習題3.1 104
3.2 洛必達(L'Hospital)法則 105
習題3.2 109
3.3 泰勒公式 110
3.3.1 泰勒(Taylor)公式 110
3.3.2 常見初等函數(shù)的帶皮亞諾型余項的麥克勞林公式 114
3.3.3 麥克勞林公式和泰勒公式的應用 115
習題3.3 117
3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 118
3.4.1 函數(shù)的單調(diào)性 118
3.4.2 曲線的凹凸性 120
習題3.4 124
3.5 函數(shù)的極值與最值 125
3.5.1 函數(shù)的極值 125
3.5.2 函數(shù)的最值 128
習題3.5 131
3.6 函數(shù)圖形的描繪 132
3.6.1 漸近線 132
3.6.2 函數(shù)圖形的描繪 133
習題3.6 135
3.7 平面曲線的曲率 136
3.7.1 曲線曲率的定義 136
3.7.2 弧長的微分 138
3.7.3 曲率的計算及曲率半徑 139
習題3.7 142
總習題3 142
第4章 不定積分 146
4.1 不定積分的概念與性質(zhì) 146
4.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念 146
4.1.2 不定積分的幾何意義 148
4.1.3 不定積分的性質(zhì) 148
4.1.4 基本積分公式 149
習題4.1 151
4.2 換元積分法 151
4.2.1 第一換元法(湊微分法) 151
4.2.2 第二換元積分法 157
習題4.2 161
4.3 分部積分法 162
習題4.3 166
4.4 有理函數(shù)的積分 166
4.4.1 有理函數(shù)的積分 166
4.4.2 可化為有理函數(shù)的積分 170
習題4.4 172
總習題4 172
第5章 定積分 174
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 174
5.1.1 定積分問題舉例 174
5.1.2 定積分的定義 176
5.1.3 定積分的性質(zhì) 179
習題5.1 183
5.2 微積分基本公式 183
5.2.1 積分上限函數(shù)及其導數(shù) 184
5.2.2 微積分基本公式 188
習題5.2 190
5.3 定積分的積分方法 191
5.3.1 定積分的換元積分法 191
5.3.2 定積分的分部積分法 196
習題5.3 198
5.4 定積分的近似運算 199
5.4.1 矩形法 199
5.4.2 梯形法 199
5.4.3 拋物線法(辛普森法) 200
習題5.4 201
5.5 廣義積分 202
5.5.1 無窮限的廣義積分 202
5.5.2 無界函數(shù)的廣義積分 204
習題5.5 206
5.6 廣義積分的審斂法與 函數(shù) 206
5.6.1 無窮限的廣義積分的審斂法 206
5.6.2 無界函數(shù)的廣義積分的審斂法 208
5.6.3 函數(shù) 209
習題5.6 210
總習題5 210
第6章 定積分的應用 213
6.1 定積分的微元法 213
6.2 定積分在幾何學上的應用 215
6.2.1 平面圖形的面積 215
6.2.2 體積 218
6.2.3 平面曲線的弧長 221
習題6.2 223
6.3 定積分在物理學上的應用 224
6.3.1 變力做功問題 224
6.3.2 水壓力 225
6.3.3 引力 226
6.3.4 轉動慣量 227
習題6.3 228
總習題6 228
第7章 無窮級數(shù) 230
7.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 230
7.1.1 引例 230
7.1.2 常數(shù)項級數(shù)的概念 231
7.1.3 收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 233
習題7.1 236
7.2 常數(shù)項級數(shù)審斂法 237
7.2.1 正項級數(shù)審斂法 237
7.2.2 交錯級數(shù)的審斂法 244
7.2.3 絕對收斂與條件收斂 245
習題7.2 247
7.3 冪級數(shù) 249
7.3.1 函數(shù)項級數(shù)的概念 249
7.3.2 冪級數(shù)的收斂性 250
7.3.3 冪級數(shù)的運算 255
習題7.3 258
7.4 函數(shù)展開成冪級數(shù) 259
7.4.1 泰勒級數(shù)的概念 259
7.4.2 將函數(shù)展開成冪級數(shù) 261
習題7.4 267
7.5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用 267
7.5.1 求常數(shù)項級數(shù)的和 267
7.5.2 函數(shù)值的近似計算 268
7.5.3 定積分的近似計算 269
7.5.4 歐拉公式 270
習題7.5 271
7.6 傅里葉(Fourier)級數(shù) 272
7.6.1 三角級數(shù)、三角函數(shù)的正交性 272
7.6.2 周期為2π的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 273
7.6.3 周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 280
7.6.4 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式 283
習題7.6 285
總習題7 287
習題參考答案及提示 291
參考書目 328