1. 溶液濃度
問題：A瓶裝180毫升濃度為35.5%的某種溶液，B瓶裝120毫升濃度為67.2%的同種溶液。從A、B取出等量的溶液，然后分別倒入B、A.混合后兩瓶溶液恰好相等。問各取出多少毫升溶液？
甲：這個濃度問題，我會做。
師：那你就做一做。
乙：這題我也會做。
師：我把數(shù)據(jù)改一改，35.5%、67.2%分別改為32.5%、58.4%.你做做看。
過了一會，兩人都做好了。
甲：答案是72毫升。
乙：我的答案也是72毫升。
甲：題目數(shù)據(jù)不同，怎么答案恰好一樣，太巧了。
師：看看你們怎么做的。
甲：我用算術方法。
乙：我用代數(shù)方法。
師：進入中學，用代數(shù)方法更多，我們先看看乙的做法。
乙：設各取出x毫升，則
(180-x)×35.5%+x·67.2%180=(120-x)×67.2%+x·35.5%120
然后去分母整理，最后得出結果。
甲：不見得比算術方法好。
乙：老師怎么做的？師：我的方法和你的差不多。同樣設取出x毫升.但將題目中的數(shù)據(jù)改成字母：A瓶有a毫升濃度為p的溶液，B瓶有b毫升濃度為q的溶液(p≠q)。
甲：那么方程就是
(a-x)p+xqa=(b-x)q+xpb
去分母整理得
(a+b)(p-q)x=ab(p-q)
因為p≠q，所以
x=aba+b.(1)
在a=180,b=120時，x=72。
乙：這比數(shù)的計算簡單。
甲：不論p、q為什么值，答案都是(1)。
師：代數(shù)就是用字母代替數(shù).用字母代替數(shù)后，不但計算簡單（避免了繁瑣的數(shù)值計算），而且具有一般性，容易看到規(guī)律.學習代數(shù)后，就應當自覺地用字母代替數(shù)，力求得出一般的結果。
所謂好的解法，就是簡單而又一般的解法。
評注：引入字母后，數(shù)學發(fā)生了巨大的變化。研究的對象不僅是數(shù)，而且還有字母。字母可以代表數(shù)（起初就是這樣），也可以不代表數(shù)（比如代表向量、矩陣等等）。字母自成體系（或稱為系統(tǒng)），可以有各種運算與規(guī)則（比如矩陣可以定義乘法，滿足結合律，卻不滿足交換律）。
2. 力求簡單
問題酒精與水的溶液中，酒精∶溶液總量=k∶m.如果再加x個單位的水或者去掉x個單位的酒精（x≠0），那么得到的酒精∶溶液總量的比都相同。求這新的比的數(shù)值。
師：還是濃度問題。
甲：不妨設原溶液中有k個單位酒精，(m-k)個單位水。由題意
km+x=k-xm-x(1)
去分母，整理得
x(x+m-2k)=0(2)
所以
x=2k-m(3)
代入（1）的左邊得新比的值為
km+x=k2k=12
乙：我設新比為r，則
k=(m+x)r(4)
k=(m-x)r+x(5)
(4)-(5)得
2xr=x(6)
所以
r=12.
師：不求x，直接得出r。等二種解法稍簡單一些。
甲：還有其它解法嗎？
師：題意，在兩種情況，酒精與溶液總量的比相等。其中第二種情比第一種，酒精少x個單位，水也少x個單位，即總量少2x個單位。如果將酒精為x個單位，溶液總量為2x個單位的溶液加到第二種情況的溶液中，那么就變?yōu)榈谝环N情況，而濃度（酒精與溶液問題的比）不變。所以加入，濃度與它們也相同，即濃度為x2x=12。
乙：這種解法更加簡單。
師：其實這種解法與你們的解法并無實質的差異，只不過省去了一些形式上的演算.但省去形式上的演算，更多地用腦思考，對發(fā)展思維能力是有益的。
很多數(shù)學會議休息時，數(shù)學家們邊喝咖啡邊討論問題。這時不可能進行紙面上的演算，更需要直接剖析問題的本質。
數(shù)學家Erd s曾說：數(shù)學家是將咖啡轉變成定理的機器”。