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數(shù)學(xué)很奇妙，它就像是一座由數(shù)字、字母、符號(hào)和圖形構(gòu)成的迷宮。利用思維的力量去尋找迷宮正確道路的過(guò)程，充滿著挑戰(zhàn)，也充滿著樂(lè)趣。
本書(shū)介紹了一些充滿奧秘與奇趣的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)歷史故事，包括神秘而有趣的自然數(shù)、妙趣橫生的墓志銘，以及數(shù)學(xué)歷史上的失誤等，這些內(nèi)容發(fā)人深思，令人驚訝，有些還會(huì)讓你會(huì)心一笑。相信本書(shū)能夠激發(fā)你對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，鍛煉你的邏輯思維能力，提升你的創(chuàng)新意識(shí)。
本書(shū)語(yǔ)言通俗易懂，集知識(shí)性與趣味性于一體，非常適合小學(xué)高年級(jí)以上文化程度的大眾讀者閱讀。

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1 充滿奧秘的數(shù)學(xué)
　 1 充滿奧秘的數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)是個(gè)萬(wàn)花筒，里面有許多形形色色的美麗、和諧的趣事，十分奇妙、有趣。
公元前 3 世紀(jì) ，古希臘的阿基米德對(duì)數(shù)學(xué)十分癡迷。 “仿佛他家中有一個(gè)絕色的仙女，與他形影不離，使他神魂顛倒，忘了吃，忘了喝，也忘了自己。有時(shí) ，甚至在洗澡時(shí) ，也用手指在爐灰上畫(huà)幾何圖形，或者在涂滿擦身油的身上畫(huà)線條，他完全被神女繆斯的魅力征服 �！� 這是近兩千年前的古希臘歷史學(xué)家、傳記作家普魯塔克（Plutarch ，約 46 ～約 127）對(duì)阿基米德的評(píng)述（解延平等， 1987）96 。
1.1 破譯密碼王中王
先講一個(gè)有趣的故事。
稻田邊立著穿蓑衣的稻草人。幾天過(guò)去，鳥(niǎo)兒便知道這是假人，大膽地飽食快成熟的稻谷，還故意站在稻草人頭上鳴叫 “假假假” 。后來(lái) ，稻田主人自己穿上蓑衣站在田邊。鳥(niǎo)兒又像過(guò)去一樣來(lái)吃谷子，吃完后站在 “稻草人” 頭上，最終被稻田主人抓住。稻田主人大笑道： “你天天在叫假假假，今日叫你撞上真真真！”
下面要講的密碼的故事，絕不是假假假，而是真真真！
密碼一般是用 0 ～ 9 的 10 個(gè)數(shù)字中的一些數(shù)字組成的秘密記號(hào) ，只有自己（如銀行卡密碼、電腦密碼等）或雙方（如通信密碼）知道。
密碼通信在軍事、政治、經(jīng)濟(jì)上都是必不可少的。
1.密碼的歷史悠久
密碼的歷史悠久，我國(guó)自古有之。例如，宋朝曾將 40 個(gè)軍用短語(yǔ)密碼用序號(hào) 1 ， 2 ， . ， 40 表示；另用一首只有 40 個(gè)字（沒(méi)有重復(fù)字眼）的五言詩(shī)中的字一一對(duì)應(yīng) 。若送密碼，寫(xiě)一普通公文，其中包含詩(shī)中對(duì)應(yīng)序號(hào)的一個(gè)字眼，并在此字上加蓋圖章。例如，要求增兵，從密碼中查 “請(qǐng)?zhí)肀?是第 14 個(gè)軍用短語(yǔ) ，詩(shī)中對(duì)應(yīng)的第 14 個(gè)字是 “別” 字。于是寫(xiě)一封信夾進(jìn) “別” 字，并在其上蓋章。收信人一看便知是要求增兵援助了（徐品方等， 2007a）64 ～ 65 。
又傳說(shuō) ，北宋年間，遼國(guó)奸細(xì)王欽若打入宋朝內(nèi) “臥底” 。遼國(guó)要送密件給他時(shí) ，為逃避路上盤(pán)查，把密件蠟丸塞入送信人切開(kāi)的大腿肌肉里，待傷愈后送給王欽若。這是歷史上最野蠻的傳送密件的方法之一。
在國(guó)外，歷史上為保衛(wèi)祖國(guó)破譯敵人密碼的數(shù)學(xué)家也不乏其人。
16 世紀(jì) ，在一次法國(guó)與西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中，西班牙人編制了一份自認(rèn)為極其安全的密碼，沒(méi)想到法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá) （F.Vieta ， 1540 ～ 1603 ）利用數(shù)學(xué)方法破譯了這份數(shù)百字的密碼，使法國(guó)軍隊(duì)打敗了對(duì)方。西班牙國(guó)王開(kāi)始還不相信他們的密碼能被破譯，認(rèn)為法國(guó)人采用了邪術(shù) ，后來(lái)得知是韋達(dá)搞的，憤怒的西班牙宗教裁判所缺席判處燒死韋達(dá)的極刑。當(dāng)然，韋達(dá)遠(yuǎn)隔異國(guó) ，宗教裁判所鞭長(zhǎng)莫及，無(wú)法得逞。
第二次世界大戰(zhàn) （1939 ～ 1945）中，英國(guó)數(shù)學(xué)家圖靈（A.M.Turing ， 1912 ～ 1954）于 1943 年根據(jù)數(shù)學(xué)原理設(shè)計(jì)了一臺(tái)叫 “烏爾特拉” 的密碼自動(dòng)破譯機(jī) ，又稱圖靈機(jī) 。德國(guó)諜報(bào)部門(mén)用性能最優(yōu)良的發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)送出的各種密碼，都能被圖靈機(jī)自動(dòng)譯出，致使德軍連連失敗。德軍統(tǒng)帥部直到戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束時(shí) ，還一直相信他們優(yōu)良的發(fā)報(bào)系統(tǒng)絕對(duì)安全，認(rèn)為失密是內(nèi)部出了叛徒，當(dāng)時(shí)還千方百計(jì) 在內(nèi)部捉拿 “奸細(xì)” 。然而，他們做夢(mèng)也沒(méi)有想到，密碼是被年輕的數(shù)學(xué)家圖靈用數(shù)學(xué)方法破譯的。英國(guó)首相丘吉爾稱圖靈機(jī)為 “英國(guó)的秘密武器” ，為此，圖靈榮獲了帝國(guó)勛章。
無(wú)獨(dú)有偶，在第二次世界大戰(zhàn)時(shí) ，美軍科學(xué)家也用數(shù)學(xué)方法成功地破譯了日軍的密碼電報(bào) ，得知日本空軍頭目山本五十六的動(dòng)向，預(yù)先設(shè)下埋伏，一舉擊落了山本五十六的座機(jī) ，使這個(gè)日本侵略軍的頭目葬身孤島。
然而有矛必有盾，隨著一個(gè)個(gè)密碼被破譯，新的更為復(fù)雜的密碼不斷編制出來(lái) 。
2.RSA 密碼的誕生
物換星移幾度秋，時(shí)間匆匆地進(jìn)入 20 世紀(jì) 70 年代，一種亙古未有的密碼，神奇般地降臨大地，向數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)專家的智慧發(fā)出了挑戰(zhàn) 。
1978 年的一天，美國(guó)青年科學(xué)家里維斯特（Rivest）、夏米爾（Shomir）和阿德利曼（Adleman）三人相約悄悄來(lái)到紐約，共商設(shè)計(jì)令全球最難解的一種密碼系統(tǒng) 。三人中兩人是數(shù)理邏輯學(xué)家，一人是計(jì)算機(jī)專家，他們憑借著超群的智慧和極其獨(dú)特的設(shè)密技術(shù) ，經(jīng)過(guò)夜以繼日的不懈努力，發(fā)明了一種長(zhǎng)達(dá) 129 位的長(zhǎng)碼。這是一種最為先進(jìn) 、最為復(fù)雜的密碼系統(tǒng) ，起名為 “RSA129” ，取三位發(fā)明者姓名的頭一個(gè)字母，后人統(tǒng)稱 RSA 密碼系統(tǒng) 。
他們把這個(gè)發(fā)現(xiàn)寫(xiě)成文章，投寄給美國(guó)最有影響的科普雜志《科學(xué)美國(guó) 人》。在文章中，他們以年輕人特有的幽默，詼諧地宣布說(shuō) ，誰(shuí)能解出 RSA129 密碼，將能獲得 100 美元的獎(jiǎng)勵(lì) ，因?yàn)樗麄兡貌怀龈嗟腻X 。
文章以最快的速度發(fā)表了，喜歡標(biāo)新立異、尋找 “奇聞” 的美國(guó)讀者，爭(zhēng) 讀和傳播這個(gè) “公開(kāi)秘密” 的信息。它首先在美國(guó)引起轟動(dòng) ，隨后又很快在全球數(shù)學(xué)界和計(jì)算機(jī)界傳開(kāi) 。許多專家學(xué)者躍躍欲試，倒不是為了那微薄的 100 美元的獎(jiǎng)金，而是試圖登上密碼界的珠穆朗瑪峰。但是，他們低估了 RSA 密碼系統(tǒng)的難度，個(gè)個(gè)都以失敗而告退。
科學(xué)家認(rèn)為，解開(kāi) RSA129 這個(gè)有史以來(lái)最難的密碼系統(tǒng) ，并非是一種趣味游戲，它涉及數(shù)論里因數(shù)分解問(wèn)題。解開(kāi)它不僅在理論密碼學(xué) 、數(shù)理邏輯學(xué) 和數(shù)論上都有重大意義，而且直接影響當(dāng)代商業(yè)與軍事部門(mén)所使用密碼的生存與命運(yùn) ，因?yàn)橐坏┢谱g ，許多銀行、公司、政府和軍事部門(mén)現(xiàn)行所使用的密碼系統(tǒng)必須全部改換，才能防止保密系統(tǒng)泄密。
面對(duì)這個(gè)誘人的理論與應(yīng)用重大課題，許多人運(yùn)用各種辦法去解開(kāi)它。時(shí) 間一年一年過(guò)去了，然而沒(méi)有人成功， “竹籃打水一場(chǎng)空” 。
這時(shí) ，有人似貶實(shí)褒地 “罵” 道： “這三個(gè)野小子，十分厲害。” 也有人說(shuō) RSA129 是一個(gè)根本不能破譯的 “大騙局” ，是一個(gè) “圈套” 。這話傳到發(fā)明者之一里維斯特耳朵里，他平靜地回答說(shuō) ：這絕不是騙局，也不是圈套，而是科學(xué) 。并且告訴大家說(shuō) ，如果想靠個(gè)人單干的小打小鬧或零敲碎打解開(kāi) RSA129 密碼，那么人類至少要花 4000 年！他又暗示說(shuō) ，只有集中力量，進(jìn)行連續(xù)的跨國(guó)聯(lián)網(wǎng) 大會(huì)戰(zhàn) ，才會(huì)有可能成功。
3.智慧的較量
人們從失敗中發(fā)現(xiàn) ，這類 RSA 密碼系統(tǒng)是一種與數(shù)的因數(shù)分解有關(guān)的數(shù)學(xué) 方法，用它可以編、譯密碼。聰明的發(fā)明者正是利用數(shù)論專家目前還難以解決大數(shù)的因數(shù)分解之機(jī) ，編制成了這種難以破譯的密碼系統(tǒng) 。
我們知道，用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)進(jìn)行兩個(gè)很大的數(shù)相乘是件極容易的事。例如， 9 位數(shù) 193707721 和 12 位數(shù) 761838257287 相乘，用計(jì)算機(jī)只需幾秒鐘就可得出積數(shù) 267 - 1 。但是反過(guò)來(lái) ，如果不知道這兩個(gè)因數(shù) ，要求完成乘積（267 - 1）的因數(shù)分解，卻不容易，積的位數(shù)越多，計(jì)算機(jī)所耗時(shí)間越多。有人統(tǒng)計(jì) ，若進(jìn)行兩個(gè) 101 位數(shù)的積的因子分解，最快的計(jì)算機(jī)也要幾十萬(wàn)億年的時(shí)間。因此，求一個(gè)大數(shù)的因數(shù)分解，必須采用數(shù)學(xué)家們研究出新的計(jì)算方法，同時(shí)輔之以電子計(jì)算機(jī)工作才行。里維斯特三人正是利用了數(shù)學(xué)家目前對(duì)大數(shù)的因數(shù)分解的困難，研制了這一可以公開(kāi)卻又無(wú)法破譯的密碼。短短幾年間，這一密碼得到了一些國(guó)家安全部門(mén)的廣泛應(yīng)用。
RSA 密碼系統(tǒng)的基本思想是：取兩個(gè)充分大的素?cái)?shù)的乘積，如果需要發(fā)送秘密文電，只需公開(kāi)告訴發(fā)電報(bào)的人這兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積是多少，并說(shuō)明如何用它進(jìn)行編碼，但不必告訴他這兩個(gè)素?cái)?shù) 。發(fā)報(bào)人按編碼進(jìn)行發(fā)送秘密文電，而收?qǐng)?bào)人只要對(duì)這兩個(gè)很大的素因數(shù)嚴(yán)守秘密，任何人都無(wú)法破譯，只有他本人知道這一密碼電報(bào) 。
RSA 密碼系統(tǒng)的出現(xiàn) ，一方面給一些國(guó)家安全部門(mén)帶來(lái)了喜悅與通信的安全感，另一方面卻給數(shù)學(xué)王國(guó)的數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了極大的震動(dòng) 。頓時(shí) ，數(shù)壇的能工巧匠驚惶不安，被譽(yù)為 “數(shù)學(xué)皇后” 的數(shù)論以及 “計(jì)算之王” 的計(jì)算機(jī)等的尊嚴(yán)受到了嚴(yán)重的損傷，數(shù)論再也不是 “世外桃源” ，再也不是與實(shí)踐不沾邊、純之又純的數(shù)學(xué)理論了。幾千年來(lái)始終潔白如玉、一塵不染的素?cái)?shù)的性質(zhì)一下子敗在了國(guó)家諜報(bào)工作人員的腳下， RSA 系統(tǒng)密碼出奇地鉆了數(shù)學(xué)家們暫時(shí)不知的大空子，給他們出了一道極富挑戰(zhàn)性的難題。
4.毅力是永久的享受
在挑戰(zhàn)面前，數(shù)學(xué)家們積極投身到大因數(shù)分解的玄機(jī)妙算之中，佐治亞大學(xué)的波梅蘭斯教授說(shuō) ： “這種密碼系統(tǒng)是由于無(wú)知而成功的一項(xiàng)應(yīng)用。它的產(chǎn)生使更多的人熱衷于研究數(shù)論了。可以說(shuō) ，對(duì)分解因數(shù)束手無(wú)策的數(shù)學(xué)家越多，這種密碼就越好。”
數(shù)學(xué)家的科學(xué)使命遭到如此重大的打擊，極大地刺傷了他們的自尊心。他們迅速地向編密碼專家發(fā)出了應(yīng)戰(zhàn)的誓言： “我們必須知道，我們必將知道 �！� 為了攻克大因數(shù)分解這座崎嶇曲折的數(shù)論山峰，他們熬過(guò)無(wú)數(shù)寒暑，度過(guò)無(wú)數(shù) 不眠之夜，無(wú)數(shù)次坐在計(jì)算機(jī)面前進(jìn)行計(jì)算、推理與沉思。他們使用運(yùn)算速度越來(lái)越快的計(jì)算機(jī) ，研究改進(jìn)數(shù)學(xué)計(jì)算的方法，其間又創(chuàng)立了新的數(shù)學(xué)分支 “計(jì)算數(shù)論” 。短期內(nèi)取得了可喜的進(jìn)展，他們進(jìn)行因數(shù)分解的位數(shù)迅速增大。
例如， 1984 年 2 月 13 日，美國(guó) 《時(shí)代》周刊介紹了美國(guó)科學(xué)家西蒙斯、戴維斯和霍爾德里奇 3 人，用 32 小時(shí)解開(kāi)了 3 個(gè)世紀(jì)之久未解決的難題 ―― 69 位數(shù)的因數(shù)分解。
時(shí)間不斷在改寫(xiě)歷史的記錄，突破性的奇跡接踵而來(lái) 。
1986 年末，已有一些國(guó)家能在一天之內(nèi)分解一個(gè) 85 位的數(shù) ； 1988 年，可分解 100 位長(zhǎng)的大數(shù) ； 1990 年，美國(guó)數(shù)學(xué)家 J.波拉德和 H.蘭斯拉發(fā)現(xiàn)了一個(gè) 155 位數(shù)的分解方法 . .
數(shù)學(xué)界的消息，使美國(guó)保密機(jī)構(gòu)感到震驚。因?yàn)榇饲懊绹?guó)絕大多數(shù)保密體系是使用 150 位長(zhǎng)的大數(shù)來(lái)編制密碼。現(xiàn)在感到不安的不再是數(shù)學(xué)家，而是那些得逞一時(shí)的國(guó)家安全部門(mén)了。
5.破譯 RSA129 密碼的成功
光陰荏苒，日月如梭，距 RSA 系統(tǒng)問(wèn)世 12 年之后，數(shù)學(xué)家們?cè)谝驍?shù)分解上取得了節(jié)節(jié)勝利，鼓舞著揭開(kāi) RSA129 之謎的科學(xué)家，他們開(kāi)始醞釀、策劃直搗令人咋舌 “要花 4000 年” 解決的 RSA129 “大圈套、大騙局” 的難題了。
科學(xué)家們終于接受發(fā)明者的 “大兵團(tuán)作戰(zhàn)” 的建議。他們紛紛呼吁：集中全球的 “密碼學(xué)精英” 和大量高性能的計(jì)算機(jī) ，全力以赴 “跨國(guó)聯(lián)網(wǎng)大會(huì)戰(zhàn)” 直搗黃龍。
說(shuō)起來(lái)容易，做起來(lái)太難了，舉行這樣的 “會(huì)戰(zhàn)” ，不僅需要一筆不小的資金，而且還要有一個(gè) “愿作嫁衣裳” 的機(jī)構(gòu)出面組織，進(jìn)行協(xié)調(diào) 。
美國(guó)著名的 “貝爾通信公司” 負(fù)責(zé)科研的 “科爾公司” 的決策者們高瞻遠(yuǎn) 矚，提供資金贊助并組織了這一世界性的大會(huì)戰(zhàn) 。 1990 年初，五大洲 600 多位解密專家和 1600 臺(tái)高性能的計(jì)算機(jī) ，匯合在一起，一場(chǎng)空前壯觀的破譯 “世界密碼之王” 的大會(huì)戰(zhàn)的帷幕啟開(kāi)了。
組織者們食不甘味，寢不安席；專家學(xué)者們送走了多少個(gè)星光交輝的夜晚，迎來(lái)了多少朝霞如火的清晨，他們有序地、科學(xué)地向密碼的珠穆朗瑪峰攀登。具體負(fù)責(zé)的科爾公司的阿杰恩 ? 倫斯特博士說(shuō) ： “計(jì)算機(jī)已經(jīng)告訴我們，破譯的困難程度如同要在一堆地球一樣大的干草堆中找出總共 850 萬(wàn)枚縫衣針 �！�
“天機(jī)云棉用在我，剪裁妙處非刀尺 �！� 精英們經(jīng)過(guò)整整 8 個(gè)月的連續(xù)苦戰(zhàn) 終于成功了。他們破譯了 RSA129 密碼。用過(guò)的草稿紙記載了多少成功和失敗，凝結(jié)著多少團(tuán)結(jié)合作的汗水和心血啊！
估計(jì)單干要 4000 年的工作量，集體合作只花 240 天就完成了。這不是 1 天約等于 16.6 年嗎？
科爾公司在紐約舉行了一次別開(kāi)生面的招待會(huì) ，會(huì)上倫斯特博士宣布成功地破譯了 10 多年前 3 位發(fā)明家設(shè)置的這個(gè)被認(rèn)為永遠(yuǎn)無(wú)法破譯的 “密碼王中王” 。發(fā)明者之一里維斯特親手將一張 100 美元的支票 “獎(jiǎng)” 給科爾公司的倫斯特博士。會(huì)場(chǎng)頓時(shí)爆發(fā)出一片善意的笑聲，接著響起經(jīng)久不息的雷鳴般的掌聲和歡呼聲。
人們想不到才十幾年，計(jì)算機(jī)發(fā)展竟如此迅速。對(duì)此，里維斯特總結(jié)說(shuō) ： “由此看來(lái) ，在我們這個(gè)計(jì)算機(jī)飛躍發(fā)展的時(shí)代，絕對(duì)無(wú)法破譯的密碼是根本不存在的 �！�
當(dāng)然， RSA 密碼系統(tǒng)中長(zhǎng)達(dá) 129 位數(shù)的特殊長(zhǎng)碼破譯了，但對(duì) 150 位數(shù)以上的長(zhǎng)碼，還沒(méi)有找到一般的方法。有人預(yù)測(cè) ，照這樣形勢(shì)發(fā)展，破譯 RSA 密碼系統(tǒng)的任何密碼的日子為期不遠(yuǎn)了。
活生生的現(xiàn)實(shí)把數(shù)學(xué)家從一張紙、一支筆的小天地里逼上了應(yīng)用數(shù)學(xué)廣闊天地的 “梁山” ，他們以迅猛異常的勇敢精神，殺出了一條血路，直搗密碼的心臟。
RSA 密碼系統(tǒng)的編制與破譯，在一定程度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，建立了計(jì) 算機(jī)應(yīng)用的新天地，并且催生了 “計(jì)算數(shù)論” ，使人們看到公元前發(fā)現(xiàn)的數(shù)論這門(mén)純數(shù)學(xué)理論科學(xué) ，在 3000 年后的當(dāng)代大顯身手，應(yīng)用于實(shí)踐的可能性，數(shù)論再也不是 “世外桃源” 和 “空中樓閣” 了。同時(shí) ，數(shù)學(xué)家的工作也充實(shí)和發(fā)展了密碼學(xué) ，使密碼分析實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)化、機(jī)械化。
思考題 1 　證明 324-1 一定有約數(shù) 91 。（浙江師范大學(xué) 1985 年初中數(shù)學(xué)競(jìng) 賽題）
注：因式分解是一種重要的恒等變形，用途廣泛。這里僅舉一個(gè)解決整除性的題，只要分解因式中有 91 因數(shù)即成。
1.2 筆尖下發(fā)現(xiàn)行星
有這樣一則有趣故事。一天，地理教師上課時(shí)對(duì)學(xué)生說(shuō) ： “誰(shuí)能在地圖上指出美洲的位置？”
尼克走到地圖面前，準(zhǔn)確地找到了美洲的所在。
“好，同學(xué)們，再告訴我：誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了美洲大陸？” 教師又問(wèn) 。
學(xué)生們異口同聲地回答： “尼克 �！�
這只是一則笑話。但要問(wèn)問(wèn) ，誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了天王星和海王星，你知道嗎？
每當(dāng)夜幕降臨，仰望晴朗的夜空，上面點(diǎn)綴著無(wú)數(shù)的繁星，閃爍著光亮的星球優(yōu)美、和諧地布于太空，有條不紊地運(yùn)動(dòng)著，呈現(xiàn)出一幅絢麗的奇特圖案。
幾千年來(lái) ，天空中隱藏著無(wú)窮無(wú)盡的奧秘，我們的祖先很早就已對(duì)地球附近的五大行星（水星、金星、火星、木星和土星）有所認(rèn)識(shí) ，并不停地探索著這些大行星的規(guī)律。
1766 年，德國(guó)數(shù)學(xué)教師提丟斯（J.D.Titius ， 1729 ～ 1796）發(fā)現(xiàn)各大行星到太陽(yáng)的平均距離是有如下規(guī)律的一數(shù)列，即從第三項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的 2 倍（今稱等比數(shù)列）：
0 ， 3 ， 6 ， 12 ， 24 ， 48 ， 96 ， 192 ， 384 ， .
為了讓人們?nèi)菀子涀∵@數(shù)列的數(shù)目，提丟斯把每一個(gè)數(shù)加 4 再除以 10 ，就得到下表中的數(shù)據(jù) 。

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