高等數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）上冊(cè)
定 價(jià)：32 元
叢書(shū)名：普通高等教育“十二五”規(guī)劃教材
- 作者：方鋼主編
- 出版時(shí)間：2012/8/1
- ISBN：9787030352699
- 出 版 社：科學(xué)出版社
- 中圖法分類(lèi)：O13
- 頁(yè)碼：272
- 紙張：膠版紙
- 版次：1
- 開(kāi)本：16K
《高等數(shù)學(xué)(理工類(lèi))》是編者充分考慮了物理類(lèi)和對(duì)數(shù)學(xué)要求比較高的專(zhuān)業(yè)對(duì)高等數(shù)學(xué)的需求，并結(jié)合自身長(zhǎng)期從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)編寫(xiě)而成的。全書(shū)分為上、下兩冊(cè)，本書(shū)為上冊(cè)，內(nèi)容包括函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用和微分方程。
《高等數(shù)學(xué)(理工類(lèi))》適合物理類(lèi)、電類(lèi)等對(duì)高等數(shù)學(xué)要求比較高的專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)使用，也可作為相關(guān)人員的參考用書(shū)。全書(shū)由云南師范大學(xué)方鋼教授和嚴(yán)慶麗老師進(jìn)行修改、整理及最后統(tǒng)稿。
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《高等數(shù)學(xué)(理工類(lèi))》結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯清晰，敘述詳細(xì)，難點(diǎn)分散，例題豐富，通俗易懂，每小節(jié)后配有習(xí)題，書(shū)末附有習(xí)題參考答案，便于自學(xué)。
本書(shū)的一個(gè)特點(diǎn)是在重視基本理論、基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用。書(shū)中每章后配有相關(guān)的大量數(shù)學(xué)建模的例題與實(shí)際應(yīng)用，經(jīng)多年使用證明，此舉對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)意識(shí)有很好的效果。全書(shū)由云南師范大學(xué)方鋼教授和嚴(yán)慶麗老師進(jìn)行修改、整理及最后統(tǒng)稿。
目錄
序言
前言
第1章 函數(shù)與極限 1
1.1 函數(shù) 1
1.2 初等函數(shù) 10
1.3 極限 14
1.4 函數(shù)的連續(xù)性 36
1.5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 43
1.6 極限應(yīng)用舉例 45
總習(xí)題一 48
第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 50
2.1 導(dǎo)數(shù)概念 50
2.2 求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式 57
2.3 復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法 62
2.4 高階導(dǎo)數(shù) 66
2.5 參數(shù)方程與極坐標(biāo)求導(dǎo)法 69
2.6 微分及其應(yīng)用 72
2.7 導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用舉例 79
總習(xí)題二 81
第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 83
3.1 中值定理 83
3.2 洛必達(dá)法則 89
3.3 泰勒公式 95
3.4 函數(shù)單調(diào)性與極值 99
3.5 曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線 108
3.6 函數(shù)的作圖 112
3.7 應(yīng)用舉例 115
總習(xí)題三 116
第4章 不定積分 118
4.1 不定積貧的概念與性質(zhì) 118
4.2 換元積分法 124
4.3 分部積分法 134
4.4 有理函數(shù)的積分 138
4.5 積分表的使用 145
總習(xí)題四 147
第5章 定積分 149
5.1 定積分的概念和性質(zhì) 149
5.2 微積分基本公式 155
5.3 定積分的換元法和分部積分法 160
5.4 非正常積分（廣義積分）*函數(shù)與B函數(shù) 166
總習(xí)題五 171
第6章 定積分的應(yīng)用 173
6.1 定積分的微元法 173
6.2 定積分在幾何上的應(yīng)用 174
6.3 定積分在物理上的應(yīng)用 185
6.4 定積分的其他應(yīng)用舉例 192
總習(xí)題六 196
第7章 微分方程 198
7.1 微分方程的基本概念 198
7.2 可分離變量的微分方程 201
7.3 齊次微分方程 206
7.4 一階線性微分方程 211
7.5 幾種特殊的高階微分方程 216
7.6 線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 219
7.7 常系數(shù)齊次線性微分方程 223
7.8 常系數(shù)非齊次線性微分方程 227
總習(xí)題七 234
附錄 常用積分公式 237
都分習(xí)題答案與提示 247
第1章 函數(shù)與極限
初等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象基本上是不變的量，而高等數(shù)學(xué)則以變量為研究對(duì)象.所謂函數(shù)關(guān)系就是變量之間的依賴(lài)關(guān)系.極限方法則是研究變量的一種基本方法.本章將介紹變量、函數(shù)、極限、函數(shù)的連續(xù)性等基本概念以及它們的一些性質(zhì).
1.1 函 數(shù)
1.1.1 常量與變量
定義1.1 在某一過(guò)程中，數(shù)值保持不變的量稱(chēng)為常量（或常數(shù)）；數(shù)值不斷變化的量稱(chēng)為變量（或變數(shù)）.
一個(gè)量是常量還是變量，在具體問(wèn)題中要作具體分析.例如，就小范圍地區(qū)來(lái)說(shuō)，重力加速度可以看成常量，但就廣大地區(qū)來(lái)說(shuō)，重力加速度則是變量.以后，用字母a，b，c，d，.表示常量，用字母x，y，z，.表示變量.
1.1.2 區(qū)間與鄰域
在數(shù)學(xué)中，常用區(qū)間表示一個(gè)變量的變化范圍，下面介紹一些常用的區(qū)間符號(hào).
設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)，并且a＜b.
1.區(qū)間
（1）開(kāi)區(qū)間（a，b）＝
x
a＜x＜b表示由滿(mǎn)足不等式a＜x＜b的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點(diǎn)，但不包含端點(diǎn)a和b的線段（圖1.1）.
（2）閉區(qū)間
［a，b］＝｛x｜a≤x≤b｝表示由滿(mǎn)足不等式a≤x≤b的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點(diǎn)且包含a和b的線段（圖1.2）.
（3）左閉右開(kāi)區(qū)間
［a，b）＝｛x｜a≤x＜b｝表示由滿(mǎn)足不等式a≤x＜b的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點(diǎn)且包含左端點(diǎn)a的線段（圖1.3）.
（4）左開(kāi)右閉區(qū)間
（a，b］＝｛x｜a＜x≤b｝表示由滿(mǎn)足不等式a＜x≤b的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示以a，b為端點(diǎn)且包含右端點(diǎn)b的線段（圖1.4）.
左閉右開(kāi)與左開(kāi)右閉區(qū)間統(tǒng)稱(chēng)為半開(kāi)半閉區(qū)間.除了上述4種有限區(qū)間外，還有如下5種無(wú)限區(qū)間：
（1）
（a，+∞）＝｛x｜x＞a｝表示由大于a的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示如圖1.5所示.
（2）
［a，+∞）＝｛x｜x≥a｝表示由大于等于a的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示如圖1.6所示.
（3）
（-∞，a）＝｛x｜x＜a｝表示由小于a的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上表示如圖1.7所示.
（4）
（-∞，a］＝｛x｜x≤a｝表示由小于等于a的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合，在數(shù)軸上的表示如圖1.8所示.
圖1.7圖1.8
（5）
（-∞，+∞）＝｛x｜-∞＜x＜+∞｝表示全體實(shí)數(shù).注意：“+∞”（讀作正無(wú)窮大），“-∞”（讀作負(fù)無(wú)窮大）是引用的符號(hào)，不能作為數(shù)看待.
以后在不需要辨明所論區(qū)間是否包含端點(diǎn)，以及是有限區(qū)間還是無(wú)限區(qū)間的場(chǎng)合，就簡(jiǎn)稱(chēng)為“區(qū)間”，并且常用I表示.
2.鄰域（設(shè)a為實(shí)數(shù)）
（1）設(shè)δ為任意一正數(shù)，則稱(chēng)開(kāi)區(qū)間（a-δ，a+δ）為點(diǎn)a的δ鄰域，記為U（a，δ），即U（a，δ）＝（a-δ，a+δ）＝
x
a-δ＜x＜a+δ
，其中點(diǎn)a稱(chēng)為這個(gè)鄰域的中心（圖1.9）.
圖1.9
第1章 函數(shù)與極限?3?
由于a-δ＜x＜a+δ相當(dāng)于｜x-a｜＜δ，因此，U（a，δ）＝｛x‖x-a｜＜δ｝.因?yàn)椋黿-a｜表示點(diǎn)x與點(diǎn)a的距離，所以U（a，δ）表示與點(diǎn)a的距離小于δ的一切點(diǎn)x.
（2）有時(shí)要用到的鄰域需要把鄰域中心去掉，點(diǎn)a的δ鄰域去掉中心以后，稱(chēng)為點(diǎn)a的去心鄰域，記作（a，δ），即（a，δ）＝｛x｜0＜｜x-a｜＜δ｝，U°U°
其中0＜｜x-a｜就表示x≠a.注1.1 在不需要強(qiáng)調(diào)半徑大小的情況下，將鄰域U（a，δ）簡(jiǎn)記為U（a）.
1.1.3 函數(shù)
1.函數(shù)的定義
在同一個(gè)自然現(xiàn)象或技術(shù)過(guò)程中，往往同時(shí)有幾個(gè)變量在變化著，這幾個(gè)變量并不是孤立地在變，而是相互聯(lián)系并遵循一定的變化規(guī)律，現(xiàn)在就兩個(gè)變量的情況舉三個(gè)例子.
例1.1 圓的面積S與它的半徑r之間的關(guān)系由公式S＝πr2 確定，當(dāng)半徑r取定某一正的數(shù)值時(shí)，圓面積S相應(yīng)有一個(gè)確定的值.■
例1.2 自由落體運(yùn)動(dòng).設(shè)物體下落的時(shí)間為t，落下的距離為s，假定開(kāi)始下落的
時(shí)刻為t＝0，那么s與t之間的相互依賴(lài)關(guān)系由公式s＝12 gt2 給定，其中g(shù)為重力加速
度.假定物體著地的時(shí)刻為t＝T，那么當(dāng)時(shí)間t在閉區(qū)間［0，T］上任意確定一個(gè)數(shù)值時(shí)，由上式就可確定下落距離s的相應(yīng)數(shù)值.■
例1.3 設(shè)有半徑為r的圓，考慮內(nèi)接于該圓的正n邊形的周長(zhǎng)Sn.由圖1.10可
以看出，Sn＝2nrsinαn，其中αn＝π n ，所以?xún)?nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)Sn
與邊數(shù)n之間的相互依賴(lài)關(guān)系由公式Sn＝2nrsinπ n 給定.當(dāng)邊
數(shù)n在自然數(shù)3，4，5，.中任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，由上式就可確定周長(zhǎng)Sn的相應(yīng)數(shù)值.■
由上面三個(gè)例子可以看到，它們都表達(dá)了兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系.這種相依關(guān)系給出了一種對(duì)應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個(gè)變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有確定的值與之對(duì)應(yīng)，兩個(gè)變量間的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)概念的實(shí)質(zhì).
定義1.2 設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定法則，總有唯一確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y為x的函數(shù)，記為y＝f（x），其中f叫做對(duì)應(yīng)法則，數(shù)集D叫做函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量.
當(dāng)x取數(shù)值x0∈D時(shí)，與x0對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值稱(chēng)為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作f（x0）.當(dāng)x遍取D的每個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的全體組成的數(shù)集
W＝｛y｜y＝f（x），x∈D｝稱(chēng)為函數(shù)的值域.
注1.2 符號(hào)y＝f（x）表示兩個(gè)數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，也可以用y＝φ（x），y＝F（x）等表示，但一個(gè)函數(shù)在討論中應(yīng)取定一種記法.當(dāng)同一問(wèn)題中涉及多個(gè)函數(shù)時(shí)，則應(yīng)取不同的符號(hào)分別表示它們各自的對(duì)應(yīng)規(guī)律，以免混淆.
注1.3 在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定的，因此，當(dāng)不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而只抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)時(shí)，就約定：函數(shù)的定義域就是使算式有意義的全體實(shí)數(shù)x構(gòu)成的集合.
例1.4 函數(shù)y＝
1 的定義域是開(kāi)區(qū)間D＝（-1，1）.■1-x2
例1.5 函數(shù)y＝ln（5x-4）的定義域應(yīng)滿(mǎn)足5x-4＞0，故定義域?yàn)?nbsp;
D ＝ 45，+∞ .■
例1.6 函數(shù)y＝arcsinx的定義域?yàn)镈＝［-1，1］.■
在函數(shù)關(guān)系中，對(duì)確定一個(gè)函數(shù)起決定作用的關(guān)鍵因素是對(duì)應(yīng)法則f和定義域D.今后，如果兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則f和定義域D都相同，則稱(chēng)兩個(gè)函數(shù)為相同的（或者叫相等的）；否則，就稱(chēng)為不同的（或者叫不相等的）.至于自變量和因變量用什么記號(hào)表示則無(wú)關(guān)緊要，因此，只要定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，則這兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù).
例1.7 下列各對(duì)函數(shù)是否相同？為什么？
（1）f（x）＝x ，g（x）＝1；
x
（2）f（x）＝x，g（x）＝
x2；
（3）f（x）＝｜x｜，g（x）＝
x2.
解 （1）不相同，因?yàn)槎x域不同，f（x）的定義域?yàn)镈＝（-∞，0）∪（0，+∞），而g（x）的定義域?yàn)镈＝（-∞，+∞）.
（2）不相同，因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同，當(dāng)x＝-1時(shí)，f（-1）＝-1，g（-1）＝1.
（3）相同，因?yàn)閒（x）和g（x）的對(duì)應(yīng)法則相同，定義域也相同，均為D＝（-∞，+∞）.■
2.函數(shù)的表示法
1） 解析法
對(duì)自變量和常數(shù)施加四則運(yùn)算、乘冪、取指數(shù)、取對(duì)數(shù)、取三角函數(shù)等數(shù)學(xué)運(yùn)算所得到的式子稱(chēng)為解析表達(dá)式.用解析表達(dá)式表達(dá)一個(gè)函數(shù)就稱(chēng)為函數(shù)的解析法，解析法也叫公式法.高等數(shù)學(xué)中討論的函數(shù)大多由解析法表示，這是由于對(duì)解析表達(dá)式可以進(jìn)行各種運(yùn)算，便于研究函數(shù)的性質(zhì).這里有一點(diǎn)必須指出：用解析法表示函數(shù)不一定總是用一個(gè)式子表示，也可以分段用幾個(gè)式子表示一個(gè)函數(shù).另外，有些特殊函數(shù)并不是用解析式給出的，其對(duì)應(yīng)關(guān)系是用“一句話”給出的，用約定的符號(hào)予以表示.
例1.8 函數(shù)y＝［x］＝n（n≤x＜n+1，n為整數(shù)）稱(chēng)為取整函數(shù).例如，若x＝
1.5，則［x］＝1；若x＝57 ，則［x］＝0；若x＝-1.5，則［x］＝-2；若x＝π，則［x］＝3.也
就是說(shuō)，若x為任意一實(shí)數(shù)，則不超過(guò)x的最大整數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為x的最大整數(shù)，記為［x］.這一函數(shù)的圖像是“階梯”形，如圖1.11所示.■例1.9 分段函數(shù)x， x≥0，
y＝f（x）＝｜x｜＝
x，x＜0的定義域?yàn)镈＝（-∞，+∞），值域?yàn)閃＝［0，+∞），其圖像如圖1.12所示.■
圖1.12
例1.10 函數(shù)1， x＞0，y＝f（x）＝sgnx＝
0，x＝0，-1，x＜0稱(chēng)為符號(hào)函數(shù)，它的定義域?yàn)镈＝（-∞，+∞），值域?yàn)閃＝
1 ，0 ，1
，其圖像如
圖1.13所示.
對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，關(guān)系式x＝｜x｜sgnx總成立.■
2） 表格法
在實(shí)際應(yīng)用中，常把自變量所取的值和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表，用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，這樣的表示法稱(chēng)為表格法.
3） 圖示法
在有的問(wèn)題中，很難找到一個(gè)解析函數(shù)表達(dá)式來(lái)準(zhǔn)確地表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系.有時(shí)，雖然可以用解析表達(dá)式表示函數(shù)，但是為了使變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系更直觀形象，常把兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用某條曲線表示出來(lái)，這種方法稱(chēng)為圖示法.
函數(shù)的上述三種表示法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在具體應(yīng)用時(shí)，常常是三種方法配合使用.
3.函數(shù)的幾種特性
1） 函數(shù)的有界性
定義1.3 設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集X炒D，如果存在K1（或K2），使得f（x）≤K1（或f（x）≥K2）對(duì)任意一x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在X上有上（或下）界，其中K1（或K2）稱(chēng)為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)上（或下）界.如果存在正數(shù)M，使得
f（x）
≤M對(duì)任意一x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在X上有界.如果這樣的M不存在，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在X上無(wú)界.例1.11 正弦函數(shù)y＝sinx和余弦函數(shù)y＝cosx為（-∞，+∞）上的有界函數(shù)，因?yàn)閷?duì)每一個(gè)x∈（-∞，+∞）都有｜sinx｜≤1，｜c(diǎn)osx｜≤1.■
例1.12 函數(shù)y＝f（x）＝1 x 在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)上界，但有下界，如1就是它的一
個(gè)下界，但當(dāng)1＜x＜2時(shí)總會(huì)有12＜ 1 x ＜1，故函數(shù)f（x）＝1 x 在開(kāi)區(qū)間（1，2）內(nèi)有界.
■2）函數(shù)的單調(diào)性定義1.4 設(shè)有函數(shù)y＝f（x）（x∈D），區(qū)間I炒D，如果對(duì)于I上的任意兩點(diǎn)x1，
x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則稱(chēng)f（x）在區(qū)間I上為嚴(yán)格單調(diào)，增加（或減少）的.如果對(duì)于I上的任意x1＜x2，恒有f（x1）≤f（x2）或（f（x1）≥f（x2）），則稱(chēng)f（x）在區(qū)間I上為單調(diào)增加（或減少）的.嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).
例1.13 函數(shù)y＝f（x）＝x2 在（0，+∞）上是嚴(yán)
格單調(diào)增加的，在（-∞，0）上是嚴(yán)格單調(diào)減少的，在
（-∞，+∞）內(nèi)不是單調(diào)的（圖1.14）. ■圖1.14例1.14 證明函數(shù)f（x）＝x3 在（-∞，+∞）內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的（圖1.15）.證 設(shè)x1，x2為（-∞，+∞）內(nèi)的任意兩點(diǎn)，當(dāng)x1＜x2時(shí)，只需證明f（x1）＝x31＜
x32＝f（x2），即證明x31-x32＜0.事實(shí)上，x31-x32＝（x1-x2）（x21+x1x2+x22），而當(dāng)x1＜x2時(shí)，x1-x2＜0，
x21+x1x2+x22＝x1+12 x22+ 34 x22＞0 ，
故x31-x32＜0，即x31＜ x32.
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