目錄
前言
數(shù)學(xué)家的話
緒論 1
一、線性代數(shù)的發(fā)展簡(jiǎn)史 1
1. 了解數(shù)學(xué)史的重要意義 1
2. 代數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展情況 1
3. 線性代數(shù)主要概念的形成 3
二、本書(shū)中使用的主要符號(hào)簡(jiǎn)介 8
第1章 行列式 11
1.1 二階與三階行列式 11
1.1.1 二階行列式的概念 11
1.1.2 三階行列式的概念 12
1.2 全排列及其逆序數(shù) 13
1.2.1 逆序的概念 13
1.2.2 偶排列與奇排列的概念 14
1.3 階行列式的定義 14
1.4 對(duì)換 16
1.5 行列式的性質(zhì) 18
1.6 行列式按行（列）展開(kāi) 23
1.7 克拉默法則——用行列式求解n元線性方程組 29
習(xí)題A 32
習(xí)題B 34
上機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)題 35
第2章 矩陣及其運(yùn)算 36
2.1 矩陣的概念 36
2.2 矩陣的運(yùn)算 39
2.2.1 矩陣的加法 39
2.2.2 數(shù)與矩陣相乘 40
2.2.3 矩陣與矩陣相乘 40
2.2.4 矩陣的轉(zhuǎn)置 42
2.2.5 方陣的行列式 44
2.2.6 共軛矩陣 46
2.3 方陣的逆矩陣 46
2.4 分塊矩陣與矩陣的分塊運(yùn)算 51
2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣 58
2.6 矩陣的秩 66
習(xí)題A 71
習(xí)題B 73
上機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)題 74
第3章 向量組的線性相關(guān)性 75
3.1 維向量的概念 75
3.1.1 n維向量的概念 75
3.1.2 維向量的計(jì)算 75
3.2 向量組及其線性組合 76
3.2.1 向量組及線性組合的概念 76
3.2.2 向量組和矩陣之間的關(guān)系 76
3.2.3 兩個(gè)向量組之間的關(guān)系及向量組的等價(jià)性 78
3.2.4 向量組等價(jià)的幾何解釋 78
3.3 向量組的線性相關(guān)性及其簡(jiǎn)單性質(zhì) 78
3.3.1 向量組線性相關(guān)性定義 78
3.3.2 向量組的線性相關(guān)性判定 79
3.3.3 向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的幾何意義 82
3.4 向量組的秩及和矩陣的秩的關(guān)系 83
3.4.1 向量組的秩及最大無(wú)關(guān)組的定義 83
3.4.2 向量組的最大無(wú)關(guān)組的性質(zhì) 83
3.4.3 向量組的秩和矩陣的秩的關(guān)系 84
3.4.4 向量組的秩的幾何意義 88
3.5 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性 89
3.5.1 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度、夾角的定義 89
3.5.2 正交向量組 90
3.5.3 施密特正交化方法 90
3.6 正交矩陣及其性質(zhì) 91
3.6.1 正交矩陣的定義和性質(zhì) 91
3.6.2 正交矩陣與正交變換 92
3.7 向量空間 93
3.7.1 向量空間的定義 93
3.7.2 向量空間舉例 93
3.7.3 向量組生成的向量空間 93
3.7.4 向量空間的基、維數(shù)和坐標(biāo) 94
3.7.5 基變換與坐標(biāo)變換 95
3.7.6 向量空間的幾何意義 99
習(xí)題A 99
習(xí)題B 101
上機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)題 102
第4章 線性方程組 103
4.1 線性方程組的有解定理 103
4.1.1 線性方程組的表示形式 103
4.1.2 線性方程組的有解判別定理 104
4.2 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 109
4.2.1 齊次線性方程組解的性質(zhì) 109
4.2.2 齊次線性方程組的解空間、基礎(chǔ)解系及通解結(jié)構(gòu) 110
4.3 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及求解方法 115
4.3.1 非齊次線性方程組解的性質(zhì) 115
4.3.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 115
4.3.3 初等行變換求非齊次線性方程組通解的方法 116
習(xí)題A 120
習(xí)題B 121
上機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)題 123
第5章 矩陣的相似及二次型化簡(jiǎn) 125
5.1 方陣的特征值與特征向量 125
5.1.1 特征值和特征向量的概念 125
5.1.2 特征值和特征向量的求解 127
5.1.3 特征值和特征向量的幾何解釋 129
5.1.4 特征值和特征向量的性質(zhì) 130
5.2 相似矩陣 130
5.2.1 相似矩陣的概念和性質(zhì) 130
5.2.2 方陣可相似對(duì)角化的充要條件 133
5.3 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 135
5.3.1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 135
5.3.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化 136
5.4 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 138
5.4.1 二次曲面的化簡(jiǎn)問(wèn)題 138
5.4.2 二次型概念及其矩陣表示 139
5.4.3 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形 140
5.5 正交相似變換化簡(jiǎn)二次型 141
5.5.1 正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的意義 141
5.5.2 正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 142
5.6 用配方法化簡(jiǎn)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 144
5.6.1 合同變換的性質(zhì) 144
5.6.2 配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 145
5.7 正定二次型與正定矩陣 147
5.7.1 慣性定理及二次型的定性問(wèn)題 147
5.7.2 二次型的定性概念及判定方法 148
習(xí)題A 150
習(xí)題B 152
上機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)題 153
第6章 線性空間與線性變換 154
6.1 線性空間及基與維數(shù) 154
6.1.1 線性空間的概念和性質(zhì) 154
6.1.2 線性空間的基與維數(shù) 157
6.2 基變換與坐標(biāo)變換 160
6.3 線性變換及矩陣表示 163
6.3.1 線性變換 163
6.3.2 線性變換的矩陣表示式 167
6.3.3 雙線性函數(shù) 170
習(xí)題A 171
習(xí)題B 172
土機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)習(xí)題 174
參考文獻(xiàn) 175
附錄一 基于軟件Matlab的線性代數(shù)實(shí)驗(yàn) 176
一、Matlab基礎(chǔ)簡(jiǎn)介 176
1. Matlab簡(jiǎn)介 176
2. Matlab進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本方法及M文件的創(chuàng)建 176
3. Matlab對(duì)使用變量名稱的規(guī)定 177
4. Matlab程序控制語(yǔ)句 177
二、常見(jiàn)線性代數(shù)相關(guān)問(wèn)題的Matlab函數(shù) 179
三、典型例題解析 180
附錄二 線性代數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 191
一、模型與數(shù)學(xué)模型 191
1. 模型 191
2. 數(shù)學(xué)模型 191
二、數(shù)學(xué)建模 192
三、線性代數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用案例 192
1. 過(guò)定點(diǎn)的曲線與曲面方程的建立 192
2. 求多元函數(shù)的極值 193
3. 人口比例的變化 195
4. 最小二乘法建立離散數(shù)據(jù)的擬合曲線 195
5. 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定 199
6. 平衡溫度分布的數(shù)學(xué)建模 200
附錄三 自測(cè)題及參考答案 203
自測(cè)題（一） 203
自測(cè)題（一）參考答案 205
自測(cè)題（二） 206
自測(cè)題（二）參考答案 208
附錄四 各章習(xí)題參考答案 211