目錄
《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》序
前言
第1章 微分流形 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 流形的概念 1
1.1.2 物理背景的流形 4
1.1.3 坐標系與微分結構 5
1.1.4 切空間與切映射 8
1.1.5 流形的定向 10
1.1.6 數(shù)學中的一些重要流形 12
1.2 流形的嵌入 26
1.2.1 反函數(shù)與隱函數(shù)定理 26
1.2.2 子流形的浸入與嵌入 29
1.2.3 到RN中的嵌入 31
1.2.4 Whitney嵌入定理 35
1.3 Frobenius定理 37
1.3.1 流形上的向量場與流 37
1.3.2 向量場的Poisson括號積 38
1.3.3 Frobenius定理 40
1.3.4 兩種等價的定理形式 43
1.4 正則值與橫截性 46
1.4.1 Sard定理 46
1.4.2 橫截性 51
1.4.3 Thom橫截性定理 52
1.5 向量叢與管形鄰域 54
1.5.1 向量叢 54
1.5.2 平凡叢的判別 56
1.5.3 向量叢的運算 58
1.5.4 萬有向量叢 61
1.5.5 管形鄰域定理 64
1.6 纖維叢 66
1.6.1 纖維叢的概念 66
1.6.2 球面的Hopf纖維化 69
1.6.3 主叢與萬有叢 74
第2章 同調理論 79
2.1 同調群 80
2.1.1 同調群的實質 80
2.1.2 可剖分空間的單純復形 87
2.1.3 單純同調群 89
2.1.4 單純同調群的拓撲不變性 93
2.1.5 Euler示性數(shù)及Euler-Poincare公式 98
2.1.6 奇異同調群 99
2.1.7 單純同調群與奇異同調群的同構 105
2.2 流形的共軛結構與同調幾何化定理 108
2.2.1 流形的共軛元 108
2.2.2 正則流形 112
2.2.3 共軛元分類與同調類的幾何化 116
2.2.4 KAunneth公式與Leray-Hirsch定理 121
2.2.5 萬有系數(shù)定理 126
2.2.6 一些流形的同調群 128
2.3 上同調論 132
2.3.1 上同調的實質 132
2.3.2 上同調群 139
2.3.3 上同調幾何化定理的證明 143
2.3.4 同調環(huán)的結構 148
2.4 正合同調序列 152
2.4.1 相對同調群與切除定理 152
2.4.2 相關代數(shù)理論 156
2.4.3 同調序列 161
2.4.4 Mayer-Vietoris序列 163
2.4.5 正合序列的應用 166
2.5 流形的對稱性 175
2.5.1 引言 175
2.5.2 共軛結構的對稱性定理 179
2.5.3 Poincare對偶 182
2.5.4 帶邊流形的共軛結構及其對稱性 183
2.5.5 Lefschetz對偶 187
2.5.6 Alexander對偶定理 188
第3章 譜序列及微分形式 191
3.1 過濾復形的譜序列 191
3.1.1 引言 191
3.1.2 Massey正合偶與譜序列的構造 194
3.1.3 雙復形及其譜序列 199
3.2 微分形式與de Rham復形 204
3.2.1 Rn中的微分形式 204
3.2.2 流形上的de Rham復形 207
3.2.3 微分形式的積分 211
3.2.4 Stokes公式 214
3.2.5 Poincare引理 218
3.2.6 關于de Rham上同調的注記 220
3.3 Cech-de Rham復形及譜序列的應用 223
3.3.1 背景介紹 223
3.3.2 層的概念 225
3.3.3 Cech上同調 229
3.3.4 Cech-de Rham復形 233
3.3.5 de Rham定理 236
3.3.6 de Rham上同調的幾何表示 238
3.4 微分形式的Hodge分解定理 244
3.4.1 介紹 244
3.4.2 Hodeg算子 246
3.4.3 流形上的張量場 249
3.4.4 Riemann流形 254
3.4.5 Laplace-Beltrami算子 258
3.4.6 Hodge定理 263
第4章 同倫論 269
4.1 同倫群 269
4.1.1 基本概念 269
4.1.2 一些基本性質 272
4.1.3 相對同倫群 274
4.1.4 同倫群的幾何表示 275
4.1.5 正合同倫序列 278
4.1.6 直和分解公式 285
4.1.7 一些流形的同倫群 288
4.2 一些重要性質 293
4.2.1 共軛元的球面定理 293
4.2.2 πn(Sn)的計算與Hopf同倫分類 294
4.2.3 Hurewicz定理 298
4.2.4 基本群的性質 301
4.2.5 Whitehead乘積 305
4.2.6 三聯(lián)組同倫群 308
4.2.7 道路空間ΩX(A，B)上的同倫群 311
4.3 障礙理論 314
4.3.1 映射的延拓問題 314
4.3.2 n單式空間 315
4.3.3 映射的障礙類 317
4.3.4 同倫延拓定理 322
4.3.5 (n-1)連通空間的同倫分類 324
4.4 纖維叢上的譜序列及其應用 326
4.4.1 Leray譜序列定理 326
4.4.2 奇異鏈的雙復形 330
4.4.3 一些應用 332
4.4.4 Gysin序列與王憲鐘序列 337
4.4.5 Hurewicz定理譜序列的證明 340
4.5 球面同倫群的計算 342
4.5.1 Eilenberg-MacLane空間 342
4.5.2 Postnicov纖維化序列與π4(S3)的計算 344
4.5.3 Whitehead纖維化與π5(S3)的計算 349
4.5.4 球面同倫群的Serre定理 353
4.5.5 Freudenthal同緯像定理 358
4.5.6 部分πn+k(Sn)的結果 362
第5章 奇點理論與指標公式 365
5.1 不動點及其指數(shù) 367
5.1.1 Brouwer不動點定理 367
5.1.2 Lefschetz數(shù) 369
5.1.3 映射的Brouwer拓撲度 372
5.1.4 流形上不動點指數(shù) 378
5.2 奇點的指標公式 381
5.2.1 Lefschetz不動點指數(shù)公式 381
5.2.2 緊流形上向量場的Poincare-Hopf指標定理 387
5.2.3 向量場邊界奇點的指標 389
5.2.4 帶邊流形的向量場指標公式 391
5.3 不動點類理論 395
5.3.1 一般介紹 395
5.3.2 流形上的不動點類及Nielsen數(shù) 397
5.3.3 S1上映射的提升類 400
5.3.4 映射的提升類與Reidemeister數(shù) 402
5.3.5 姜伯駒群與Nielsen數(shù)的計算公式 409
5.4 Morse理論(I) 414
5.4.1 基本概念 414
5.4.2 Morse理論的基本定理 417
5.4.3 流形的CW復形倫型 424
5.4.4 Morse不等式 426
5.4.5 最少臨界點數(shù)與流形分解 430
5.4.6 h配邊定理與n≥5的Poincare猜想 434
5.5 Morse理論(II) 439
5.5.1 能量泛函及其臨界點的Morse指標 439
5.5.2 Riemann流形上的測地線 441
5.5.3 能量泛函的二次變分與Jacobi場 445
5.5.4 指標定理 448
5.5.5 ΩM的CW復型結構 452
5.5.6 Bott周期定理 455
第6章 示性類 463
6.1 基本概念與框架 463
6.1.1 向量叢的示性類 463
6.1.2 Grassmann流形與示性類的關系 465
6.1.3 Thom同構定理 470
6.1.4 可定向Rm叢的Euler類 473
6.2 Stiefel-Whitney類 475
6.2.1 實向量叢上Z2系數(shù)示性類的構造 475
6.2.2 Stiefel-Whitney數(shù)與流形的配邊 479
6.2.3 Z2示性類的基本性質 481
6.2.4 流形M×M的對角上同調類 485
6.2.5 切叢上Stiefel-Whitney類的吳文俊公式 489
6.2.6 吳文俊公式的應用 492
6.3 陳省身示性類 494
6.3.1 Chern類的構造 494
6.3.2 Chern數(shù)與Euler示性數(shù) 497
6.3.3 復Grassmann流形的上同調環(huán) 499
6.3.4 一些Chern類的計算 504
6.4 Pontrjagin類 507
6.4.1 Rn叢的實系數(shù)示性類 507
6.4.2 Pontjagin數(shù)與可定向配邊環(huán) 512
6.4.3 Thom配邊理論 515
6.4.4 Hirzebruch符號定理 519
6.4.5 Hirzebruch-Riemann-Roch定理 526
參考文獻 530
《現(xiàn)代數(shù)學基礎叢書》已出版書目 532