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本書主要涉及Calabi-Yau三角范疇中扭對分類的發(fā)展研究，涵蓋了有限的2-CY三角范疇、叢范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇中的(余)扭對的分類及其應(yīng)用，有限的2-CY三角范疇是只含有限多個不可分解對象并且?guī)в袠O大剛性對象的2-CY三角范。叢范疇和高階叢范疇包括A型和D型，無窮叢范疇包括A型、A 型、包含n個極限點的A型和D型的叢范疇。最后，最為應(yīng)用，介紹了利用叢傾斜子范疇計算Grothendieck群的方法。本書可供從事代數(shù)表示論領(lǐng)域的科研人員了解三角范疇、AR-箭圖、扭理論、特殊三角范疇（包括有限2-Calabi-Yau三角范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇）的幾何模型等，了解扭對分類的方法及其應(yīng)用。

CalabiYau三角范疇中扭對的分類及其應(yīng)用前言前言扭理論作為t結(jié)構(gòu)與叢傾斜子范疇的推廣，是代數(shù)表示論中一個重要的研究課題，也是代數(shù)和幾何領(lǐng)域一類重要的研究對象。它在幫助我們理解三角范疇的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何結(jié)構(gòu)方面起到重要的作用，因而對三角范疇中的扭對進行分類具有重要的意義。本書圍繞有限2CalabiYau三角范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇這三類特殊的三角范疇展開闡述，利用幾何模型，用組合理論的方法研究三角范疇中的扭對分類及其應(yīng)用。本書可供從事代數(shù)表示論領(lǐng)域的科研人員了解三角范疇、AR箭圖、扭理論、特殊三角范疇(包括有限2CalabiYau三角范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇)的幾何模型等，以及扭對分類的方法及其應(yīng)用。本書共分為9章，第1章為扭理論簡介，主要介紹扭理論的研究背景和研究扭理論的意義，并介紹了有限2CalabiYau三角范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇的研究現(xiàn)狀和趨勢。第2章給出本書需要用到的一些基本的定義和結(jié)果。我們主要回顧一些關(guān)于加法范疇、阿貝爾范疇、三角范疇的預(yù)備知識，給出扭理論、叢結(jié)構(gòu)、有限2CalabiYau三角范疇、叢范疇、高階叢范疇和無窮叢范疇的相關(guān)概念和主要結(jié)果，同時介紹了本書一些常用的記號，為后面章節(jié)的學(xué)習(xí)做鋪墊。第3章介紹有限2CalabiYau三角范疇中的扭理論及其應(yīng)用，主要研究An,t和Dn,t(帶極大剛性對象而非叢傾斜對象的有限2CalabiYau三角范疇)中扭對的幾何刻畫，計算出扭對的個數(shù)，并且將所有扭對的heart進行分類。另外，我們研究了An,t和Dn,t中不可分解剛性對象的性質(zhì)，分別定義了An,t和Dn,t上叢復(fù)形(cluster complex)的概念，證明了存在從An,t和Dn,t的叢復(fù)形到Bn型根系的叢復(fù)形的同構(gòu)。在這個同構(gòu)下，An,t和Dn,t中極大剛性對象對應(yīng)到Bn型根系的極大相容子集。其中包含我們已經(jīng)發(fā)表的文章中的結(jié)論。第4章重點介紹高階叢范疇中的扭理論及其應(yīng)用，包含A型高階叢范疇和D型高階叢范疇。對于A型m叢范疇，我們利用其幾何模型，將余扭對完全分類。當(dāng)m=1時，該結(jié)論推廣了HolmJrgensenRubey關(guān)于經(jīng)典A型叢范疇上扭對的分類。同樣的，對于D型m叢范疇，我們利用其幾何模型，將m為奇數(shù)時的D型m叢范疇中的扭對完全分類。當(dāng)m為偶數(shù)時，仍然是一個開放的問題，目前還沒有相應(yīng)扭對分類的結(jié)果。第5章介紹高階叢范疇中扭對分類的應(yīng)用，在第4章扭對分類完成的基礎(chǔ)上，將A型和D型高階叢范疇中的高階剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類(注意對于D型，仍然只能將m為奇數(shù)時的D型m叢范疇中的高階剛性子范疇和高階叢傾斜子范疇分類)。回到經(jīng)典叢范疇中，該結(jié)論包含了m=1時經(jīng)典叢范疇中扭對分類的結(jié)果。第6章重點介紹A型叢范疇。我們研究A型叢范疇的幾何模型，在其幾何模型上定義A型的Ptolemy圖，利用該幾何模型，給出A型叢范疇上余扭對的完全分類。利用該結(jié)論，得到了A型叢范疇中函子有限子范疇、叢傾斜子范疇和t結(jié)構(gòu)以及t結(jié)構(gòu)heart的分類。第7章給出離散型D型無窮叢范疇的幾何模型，以及包含n個極限點的D型無窮叢范疇和完備化的D型無窮叢范疇的實現(xiàn)，考慮了D型無窮叢范疇中弱叢傾斜子范疇的幾何刻畫，為研究離散型D型無窮叢范疇中扭對的分類及其應(yīng)用提供可行性分析。最后，給出了一個弱叢結(jié)構(gòu)的猜想，留給感興趣的讀者。第8章總結(jié)了三角范疇中Grothendieck群常見的計算方法，與扭對分類之間的關(guān)系，利用叢傾斜子范疇計算Grothendieck群的技巧等。給出有限叢范疇，包括A型、D型和E型的Grothendieck群，高階叢范疇包括A型和D型的Grothendieck群，以及A型無窮叢范疇Grothendieck群的計算。第9章總結(jié)了前面的主要工作，對于目前的研究趨勢進行了展望。對于三角范疇中扭對分類的研究，正在向無窮方向發(fā)展：一方面是將無窮Dynkin型叢范疇得以實現(xiàn)，并研究其相關(guān)代數(shù)和幾何性質(zhì)；另一方面是將無窮叢范疇一般化，研究高階無窮叢范疇的代數(shù)性質(zhì)和幾何結(jié)構(gòu)。未來在這些無窮叢范疇的研究中，扭理論可能發(fā)揮著重要的作用。本書是作者在近幾年科研工作和博士研究的基礎(chǔ)上編寫而成的，感謝國家開放大學(xué)的支持和博士生導(dǎo)師朱彬教授的指導(dǎo)和幫助。由于作者水平有限，時間緊張，書中難免出現(xiàn)疏漏，希望讀者提出寶貴的意見，甚為感謝。著者2023年5月

第1章扭理論簡介(1)

1.1研究背景和研究意義(1)

1.2研究內(nèi)容(3)

1.2.1有限2CalabiYau三角范疇(3)

1.2.2高階叢范疇(4)

1.2.3無窮叢范疇(5)

第2章預(yù)備知識(7)

2.1三角范疇(7)

2.1.1加法范疇和阿貝爾范疇(7)

2.1.2三角范疇的定義(9)

2.1.3AR箭圖(10)

2.2扭理論(12)

2.3叢結(jié)構(gòu)(15)

2.4叢范疇(17)

2.4.1An型叢范疇(18)

2.4.2Dn型叢范疇(19)

2.4.3A型叢范疇(22)

2.4.4A型叢范疇(24)

2.4.5含n個極限點的A型叢范疇(28)

2.5高階叢范疇(31)

2.5.1A型高階叢范疇(32)

2.5.2D型高階叢范疇(32)

2.5.3E型高階叢范疇(32)

第3章有限2CalabiYau三角范疇中的扭理論(34)

3.1An,t中扭對的分類(35)

3.1.1An,t中扭對的幾何描述(35)

3.1.2t>1時An,t中的扭對(38)

3.1.3An,1中的扭對(42)

3.2Dn,t中扭對的分類(45)

3.2.1Dn,t中扭對的幾何刻畫(45)

3.2.2t>1時Dn,t中的扭對(46)

3.2.3Dn,1中的扭對(48)

3.2.4Dn,t中扭對的個數(shù)(50)

3.3有限2CY三角范疇中扭對分類的應(yīng)用(52)

3.3.1有限2CY三角范疇中扭對的heart(52)

3.3.2有限2CY三角范疇中的叢結(jié)構(gòu)(54)

第4章高階叢范疇中的扭理論(59)

4.1A型高階叢范疇(59)

4.1.1An-1型的m叢范疇的幾何模型(59)

4.1.2An-1型的m叢范疇中的余扭對(62)

4.2D型高階叢范疇(67)

4.2.1Dn型的m叢范疇的幾何模型(68)

4.2.2Dn型的m叢范疇中的扭對(72)

第5章高階叢范疇中扭對分類的應(yīng)用(83)

5.1m剛性子范疇和m叢傾斜子范疇(A型)(83)

5.2余扭對和經(jīng)典叢范疇中余扭對的關(guān)系(A型)(84)

5.3m剛性子范疇和m叢傾斜子范疇(D型)(85)

5.4扭對和經(jīng)典叢范疇中扭對的關(guān)系(D型)(86)

5.5例子(A型)(86)

第6章A型叢范疇中的扭理論(89)

6.1A型無窮叢范疇(89)

6.1.1Ptolemy圖的定義(89)

6.1.2Ptolemy圖的例子(89)

6.2余扭對的分類(91)

6.2.1主定理(91)

6.2.2與主定理相關(guān)的結(jié)論(92)

6.2.3主定理的證明(99)

6.3余扭對分類的應(yīng)用(101)

6.3.1函子有限子范疇和叢傾斜子范疇的分類(101)

6.3.2t結(jié)構(gòu)的分類(102)

6.3.3t結(jié)構(gòu)heart的分類(104)

第7章D型無窮叢范疇(105)

7.1帶標(biāo)記點的gon(105)

7.2D型無窮叢范疇的實現(xiàn)(109)

第8章Grothendieck群(111)

8.1有限叢范疇的Grothendieck群(111)

8.2高階叢范疇的Grothendieck群(112)

8.2.1A型高階叢范疇的Grothendieck群(114)

8.2.2D型高階叢范疇的Grothendieck群(118)

8.3無窮叢范疇的Grothendieck群(123)

第9章總結(jié)與展望(128)

9.1總結(jié)(128)

9.1.1構(gòu)造阿貝爾商范疇(129)

9.1.2分類剛性子范疇和叢傾斜子范疇(129)

9.1.3分類t結(jié)構(gòu)(130)

9.2展望(131)

9.2.1無窮叢范疇(131)

9.2.2完備化的無窮叢范疇(132)

9.2.3高階無窮叢范疇(132)

參考文獻(134)

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