一條魚，兩條魚……
關(guān)于整數(shù)方面遇到的困難是： 我們實(shí)際上只是研究了較小的整數(shù)。也許激動(dòng)人心的事情只是在龐大的整數(shù)上出現(xiàn)，而它們是我們既不能動(dòng)手，也不能用明確的方式加以思考的。興許，一切手段都無(wú)法達(dá)到目的，我們不過(guò)是在轉(zhuǎn)圈子。我們的頭腦進(jìn)化得幫助我們躲雨，告訴我們哪里有漿果，怎樣才能舍死求生。但我們的頭腦進(jìn)化得還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠！不能掌握真正龐大的整數(shù)，或者在成千上萬(wàn)的高維空間里看待問(wèn)題。
羅納德·格雷厄姆（Ronald Graham)
正確地說(shuō)，數(shù)學(xué)不僅掌握著真理，而且擁有一種至高無(wú)上的美，冷峻而質(zhì)樸，就像是雕塑一樣。
伯特蘭·羅素，《邏輯與神秘主義》，1918年
一切數(shù)學(xué)的源泉是整數(shù)。
赫爾曼·閔可夫斯基（Herman Minkowski)果戈?duì)柌┦繜釔?ài)整數(shù)，尤其是像1000000那樣的大數(shù)，還有像2或3那樣較小的數(shù)。在這本書里，你將看到整數(shù)頻頻出現(xiàn)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于分?jǐn)?shù)（例如1/2之類）、三角函數(shù)（例如正弦sin)，乃至于冗長(zhǎng)無(wú)窮的無(wú)理數(shù)（例如=3.1415926…），他關(guān)心的主要是整數(shù)。
世界著名的探險(xiǎn)家與杰出的數(shù)學(xué)家果戈?duì)柌┦壳宄�地懂得，他�?duì)整數(shù)的癡迷對(duì)你們而言聽(tīng)起來(lái)十分可笑，然而整數(shù)是超越時(shí)空的一條重要通道。探討這些數(shù)字之間的神奇關(guān)系將會(huì)提高我們的想象能力，幫助我們制造空間飛船，研究宇宙的結(jié)構(gòu)。數(shù)也將是我們同智能外星生物進(jìn)行通信的首選工具。
希臘人等古代文明人深深地迷上了數(shù)。在困難時(shí)期，一個(gè)變動(dòng)紛繁的世界中唯一能保持穩(wěn)定的東西不就是數(shù)嗎？對(duì)畢達(dá)哥拉斯主義者（一個(gè)古老的希臘學(xué)派）來(lái)說(shuō)，數(shù)是可觸摸的，固定不變的，賞心悅目的與永恒的東西遠(yuǎn)比朋友可靠，又沒(méi)有天神宙斯那么可怕。
本書中神奇有趣的動(dòng)腦筋題目甚至能使最有左腦傾向的讀者迷上數(shù)字。關(guān)于某些數(shù)學(xué)家的生活、丑聞、感情糾紛的奇特與獨(dú)一無(wú)二的篇章肯定能吸引各種數(shù)學(xué)水平的讀者。實(shí)際上，本書的著重點(diǎn)是在創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)與挑戰(zhàn)等方面。第1、第4章特別適宜初學(xué)者閱讀，其主要內(nèi)容是有趣的課堂探索與實(shí)驗(yàn)。第2章的內(nèi)容涉及課堂上的不同看法或者是餐桌旁以及因特網(wǎng)上的爭(zhēng)議。第3章則包含了需要較多數(shù)學(xué)技巧的問(wèn)題。
果戈?duì)柌┦肯驅(qū)W生們介紹本書中的一些奇妙數(shù)時(shí)，他們馬上就入迷了，因?yàn)樗麄兌�得，利用個(gè)人電腦，他們自己就有可能打破世界紀(jì)錄，做出新的發(fā)現(xiàn)。只要用一支筆、一張紙，對(duì)絕大多數(shù)概念都可以進(jìn)行探索！

數(shù)論整數(shù)性質(zhì)的研究是一門古老的學(xué)科。早期論文中充斥著大量神秘主義，譬如說(shuō)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人用整數(shù)來(lái)解釋宇宙中許多事物。僅僅在數(shù)百年前，所有大學(xué)生都要讀讖緯學(xué)譯者注： 日文稱為數(shù)秘學(xué)，起源于中國(guó)。從東漢至明末都極流行，尤其在改朝換代時(shí)。姚雪垠先生的長(zhǎng)篇?dú)v史小說(shuō)《李自成》一至五卷中即有大量描述。（研究數(shù)的神秘與宗教性質(zhì)的學(xué)問(wèn)），時(shí)至今日，諸如13，7，666等數(shù)仍會(huì)在許多人的心目中喚起復(fù)雜感情。目前，整數(shù)算法在人類活動(dòng)的廣泛領(lǐng)域內(nèi)都很重要，在自然科學(xué)的進(jìn)展中也一再起著決定性作用。［數(shù)論在通信、計(jì)算機(jī)科學(xué)、密碼學(xué)、物理、生物、藝術(shù)等領(lǐng)域都有應(yīng)用，其有關(guān)論述請(qǐng)參看曼弗雷德·施羅德(Manfred Schroeder)的《科學(xué)與通信中的數(shù)論》一書。］
數(shù)學(xué)家們常犯的錯(cuò)誤之一是對(duì)完善性的執(zhí)著一種強(qiáng)烈的愿望，想用幾條基本原理去解釋他們的研究工作。正因?yàn)槿绱耍�讀者們就經(jīng)常被迫去閱讀冗長(zhǎng)的背景材料，而后才能進(jìn)入到本題(真正的精髓）。為了避免這種毛病，本書中每一節(jié)的長(zhǎng)度都不超過(guò)5面。你想了解起伏數(shù)嗎？請(qǐng)翻到第52節(jié)，要不了幾頁(yè)你就可以一試身手，迎接挑戰(zhàn)了。你對(duì)斐波那契數(shù)感興趣嗎？那就翻到71節(jié)去看看。需要了解8位最有影響的女?dāng)?shù)學(xué)家嗎？可以翻到33節(jié)。想了解土法炸彈制造家的10篇深不可測(cè)的數(shù)學(xué)論文嗎？請(qǐng)看40節(jié)。羅馬數(shù)字為什么不再使用了？請(qǐng)看第2節(jié)。分形幾何的最新應(yīng)用是什么？請(qǐng)參閱第54節(jié)的進(jìn)一步探索材料。第一位女?dāng)?shù)學(xué)家何故被殺害，請(qǐng)看第29節(jié)�？偠�言之，你將能迅速抓住評(píng)述、難題、游戲和疑問(wèn)的要點(diǎn)！
這種寫法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是使你直接跳到動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，迅速嘗到有趣的菁華，而不必在一大堆瓦礫里挑選。這本書不是寫給打算尋找正式數(shù)學(xué)證明的數(shù)學(xué)家看的。當(dāng)然，這樣的寫法也有一些不利之處，果戈?duì)柌┦吭诹攘葞醉?yè)中不可能把一個(gè)問(wèn)題說(shuō)得很透徹。你們也不可能找到有關(guān)該問(wèn)題的歷史背景或進(jìn)一步討論。但這并不礙事，在本書的進(jìn)一步探索與拓展閱讀材料部分，他已提供了不少補(bǔ)充資料。
書中收入的專題在某種程度上說(shuō)是隨意的，盡管它們已經(jīng)介紹了數(shù)論與數(shù)學(xué)游戲中一些常見(jiàn)與不常見(jiàn)的問(wèn)題，可以作為一本很好的入門書。這些也是果戈?duì)柌┦孔约貉芯康膯?wèn)題以及讀者來(lái)信提及的問(wèn)題，其中不少問(wèn)題具有代表性，表明了新一代數(shù)學(xué)家們的興趣所在。書中的某些信息不憚重復(fù)，以便你任意選讀，迅速投入。書中所收錄的各章節(jié)，難度差別甚大，以便你們自由選擇。

人們何以特別重視整數(shù)？成就突出的數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什(Paul Erd�塻，詳見(jiàn)第46節(jié)）迷戀于數(shù)論，十分強(qiáng)調(diào)以下看法: 他可以用整數(shù)提出問(wèn)題，敘述起來(lái)十分簡(jiǎn)單，但解起來(lái)卻極端困難。埃爾德什相信，如果有人提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，過(guò)了100年還解決不了，那它必定是個(gè)數(shù)論問(wèn)題。宇宙間存在的和諧可以用整數(shù)來(lái)表示。數(shù)字模式可用來(lái)解釋雛菊中小花的排列、兔子的繁殖、行星的軌道、樂(lè)音的和聲，以及周期表中元素之間的關(guān)系。德國(guó)代數(shù)學(xué)家兼數(shù)論學(xué)者利奧波德·克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，18231891)曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一句名言: 整數(shù)來(lái)自上帝，其他一切都是人造的。他的言外之意是: 一切數(shù)學(xué)的基本源泉是整數(shù)。從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代開(kāi)始，整數(shù)比在音階中的作用已獲得廣泛的認(rèn)可與贊賞。
更重要的是在人類科學(xué)認(rèn)識(shí)的進(jìn)步上整數(shù)所起的決定性作用。譬如說(shuō)，在18世紀(jì)，法國(guó)化學(xué)家拉瓦錫發(fā)現(xiàn)，化合物中各元素的組成有著確定的最小整數(shù)比。這是原子存在的強(qiáng)有力證據(jù)。1925年，受激原子所發(fā)射的光譜線波長(zhǎng)之間的某些整數(shù)比給出了原子結(jié)構(gòu)的最早暗示。原子量之間非常接近于整數(shù)的比值隱隱暗示: 原子核是由個(gè)數(shù)為整數(shù)的相近核子（質(zhì)子與中子）所組成。整數(shù)比的微小偏差終于導(dǎo)致一些元素的同位素（化學(xué)性質(zhì)幾乎全同而放射性有異）的發(fā)現(xiàn)。純凈同位素的原子量同整數(shù)之間的細(xì)微差別證實(shí)了愛(ài)因斯坦的著名方程式E=mc2以及制造原子彈的可能性。在原子物理學(xué)中整數(shù)隨處可見(jiàn)。這個(gè)整數(shù)關(guān)系是編織全部數(shù)學(xué)最基本的幾股線。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯所說(shuō)，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的女王，而數(shù)論則是數(shù)學(xué)的女王。
跟隨《數(shù)字傳奇》去做一次奇妙的旅行，它將開(kāi)啟你的幻想之門。書中有著為數(shù)眾多引人深思的神奇故事、動(dòng)腦筋趣題以及各式各樣的問(wèn)題，從拉馬努金（S. Ramanujan，印度最出名的數(shù)學(xué)家）最美妙的公式到利維坦（Leviathan)數(shù)（這是個(gè)很大很大的數(shù)，連億、兆都無(wú)法與之相比）。書中的每一節(jié)都是奇談怪論與神秘的世界。請(qǐng)你趕快抓起一支筆，不要害怕。書中有些話題也許純屬獵奇，很少有實(shí)用價(jià)值，也并無(wú)目的或意向。盡管如此，果戈?duì)柌┦堪l(fā)現(xiàn)這些實(shí)驗(yàn)是有用的，也是有教育意義的，在他漫長(zhǎng)的一生中，與他通信交流的許多學(xué)生、教育家與科學(xué)家也都如此認(rèn)為�；仡櫄v史，來(lái)自心靈深處的實(shí)驗(yàn)、概念與結(jié)論終究會(huì)被發(fā)現(xiàn)有出人意料的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。為了進(jìn)一步鼓勵(lì)你們深入鉆研，果戈?duì)柌┦恳蔡峁┝擞?jì)算方面的提示。
在本書行將正式出版之際，牛津大學(xué)出版社欣然宣布，已經(jīng)準(zhǔn)備好了一個(gè)網(wǎng)頁(yè)（www.oup�瞮sa.org/sc/0195133420)，其中含有一份本書作者提供的幾十種計(jì)算機(jī)程序菜單。讀者們也不斷要求在線提供代碼以便研究、實(shí)驗(yàn)。我們希望這些代碼將會(huì)進(jìn)一步澄清書中所闡述的概念。作者所提供的程序與在線代碼如下：
● 第2節(jié)我們何以不再使用羅馬數(shù)字（BASIC程序可以產(chǎn)生與你按入之?dāng)?shù)相應(yīng)的羅馬數(shù)字）
● 第16節(jié)耶路撒冷的上天之路(掃描拉丁方的C程序）
● 第17節(jié)巴布亞的管樂(lè)器（生成巴布亞旋律的偽代碼）
● 第22節(jié)克林根通路（生成與探索克林根通路的C語(yǔ)言與BASIC語(yǔ)言代碼）
● 第49節(jié)冰雹數(shù)(計(jì)算冰雹數(shù)與步長(zhǎng)的BASIC代碼）
● 第50節(jié)名為科斯洛夫之春的地毯（用以設(shè)計(jì)波斯地毯的BASIC代碼）
● 第51節(jié)奧米伽棱柱(求出相交子塊個(gè)數(shù)的BASIC代碼）
● 第53節(jié)外星雪花: 方格世界漫游記（探討外星雪花的C代碼）
● 第54節(jié)帕斯卡三角形的美與對(duì)稱（計(jì)算與描繪帕斯卡三角形的BASIC代碼）
● 第56節(jié)果戈?duì)柌┦康乃財(cái)?shù)披肩（研究素?cái)?shù)與方格的BASIC代碼）
● 第62節(jié)三角形數(shù)（計(jì)算三角形數(shù)的BASIC代碼）
● 第63節(jié)六角形貓（計(jì)算多角形數(shù)的BASIC代碼）
● 第64節(jié)X檔案數(shù)（計(jì)算X檔案世界末日數(shù)的BASIC代碼）
● 第66節(jié)尋覓難以捉摸的平方數(shù)（產(chǎn)生成對(duì)平方數(shù)的BASIC代碼）
● 第68節(jié)五邊形大餅（計(jì)算卡塔蘭數(shù)的BASIC代碼）
● 第71節(jié)斐波那契先生的芳鄰（計(jì)算斐波那契數(shù)的BASIC代碼）
● 第73節(jié)神奇的倒讀也素?cái)?shù)1597(計(jì)算斐波那契素?cái)?shù)的REXX代碼）
● 第83節(jié)利維坦數(shù)（比較斯特林?jǐn)?shù)與階乘數(shù)值的C代碼與BASIC代碼）
● 第85節(jié)從獨(dú)立日算起的外星人（計(jì)算人類總數(shù)與性別的C代碼與BASIC代碼）
● 第88節(jié)閑話水仙數(shù)的新發(fā)現(xiàn)（尋找全部立方水仙數(shù)的BASIC代碼，搜尋階乘數(shù)的C代碼）
● 第89節(jié)abcdefghij問(wèn)題（求解abcdefghij問(wèn)題解答的REXX代碼）
● 第94節(jié)完全數(shù)、相親數(shù)與升華數(shù)（尋找完全數(shù)與相親數(shù)的BASIC代碼）
● 第96節(jié)撲克、青蛙與分形序列（計(jì)算分形簽名數(shù)列的REXX代碼以及計(jì)算蛙類動(dòng)物的BASIC代碼）
● 第99節(jié)三角形的一切，你都想知道，但又不愿去問(wèn)（生成畢達(dá)哥拉斯三角形的BASIC代碼并計(jì)算祈禱三角形的邊長(zhǎng)）
● 第100節(jié)作為自組織系統(tǒng)的洞穴生成（探討鐘乳石形成過(guò)程的C代碼）
● 第123節(jié)射箭之禪(解決禪宗問(wèn)題的Java代碼）
對(duì)你們中的大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，看了計(jì)算機(jī)程序?qū)⒂兄�于進(jìn)一步弄清語(yǔ)言難以闡明的一些概念。