目錄
第1章 有限元方法構(gòu)造 1
1.1 Galerkin變分原理和Ritz變分原理 1
1.2 Galerkin逼近解 6
1.3 有限元子空間 9
1.4 單元?jiǎng)偠染仃嚭涂倓偠染仃?15
第2章 單元及形狀函數(shù) 18
2.1 矩形元素的形狀函數(shù) 20
2.1.1 矩形元素的Lagrange型形狀函數(shù) 21
2.1.2 矩形元素的Hermite型形狀函數(shù) 24
2.2 三角形元素 27
2.2.1 面積坐標(biāo)和體積坐標(biāo)的概念 27
2.2.2 三角形元素的Lagrange型形狀函數(shù) 33
2.2.3 三角形元素的Hermite型形狀函數(shù) 37
2.3 三維元素的形狀函數(shù) 45
2.3.1 六面體元素的Lagrange型形狀函數(shù) 45
2.3.2 四面體元素的Lagrange型形狀函數(shù) 47
2.3.3 三棱柱體元素的形狀函數(shù) 48
2.3.4 四面體元素的Hermite型形狀函數(shù) 49
2.4 等參數(shù)元素 50
2.5 曲邊元素 53
第3章 有限元方法解題過(guò)程 57
3.1 有限元方法的計(jì)算流程 57
3.2 對(duì)稱(chēng)帶狀矩陣的一維存儲(chǔ) 63
3.3 數(shù)值積分 66
3.4 單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算和總剛度矩陣的合成 69
3.4.1 形狀函數(shù)的計(jì)算 69
3.4.2 單元?jiǎng)偠染仃嚰皢卧�列陣的�?jì)算 73
3.4.3 總剛度矩陣元素的迭加 74
3.5 有限元方程組的直接解法 76
3.5.1 對(duì)稱(chēng)、正定矩陣的分解 76
3.5.2 線性代數(shù)方程組的直接解法 78
3.6 有限元方程組的其他解法 81
3.6.1 最速下降方法 82
3.6.2 共軛梯度法 83
3.7 約束條件的處理 85
3.7.1 強(qiáng)加約束條件的處理 85
3.7.2 周期性約束條件的處理 87
3.8 場(chǎng)函數(shù)數(shù)值導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 93
3.9 有限元網(wǎng)格的自動(dòng)剖分 96
第4章 Sobolev空間 100
4.1 關(guān)于區(qū)域和某些記號(hào) 100
4.2 若干經(jīng)典函數(shù)空間 101
4.3 Lp(Ω)空間 103
4.4 廣義函數(shù)空間 104
4.5 整數(shù)階Sobolev空間 106
4.6 實(shí)數(shù)階Sobolev空間Hσ，p(Ω) 108
4.7 嵌入定理和插入不等式 109
4.8 跡空間 111
第5章 邊值問(wèn)題變分原理及有限元逼近解誤差估計(jì) 120
5.1 橢圓邊值問(wèn)題 120
5.2 變分原理 123
5.3 有限元逼近解 133
5.4 坐標(biāo)變換和等價(jià)有限元 135
5.4.1 仿射變換和仿射等價(jià)有限元 135
5.4.2 等參變換和等參有限元 136
5.5 有限元插值基本理論 140
5.5.1 若干引理 140
5.5.2 仿射等價(jià)有限元插值精度 140
5.5.3 等參有限元插值精度 142
5.5.4 C1-類(lèi)有限元插值 143
5.6 橢圓邊值問(wèn)題有限元逼近解精度 143
5.6.1 協(xié)調(diào)有限元 143
5.6.2 收斂性定理 144
5.6.3 Aubin-Nitsche引理和零階模的估計(jì) 145
5.6.4 負(fù)范數(shù)估計(jì) 147
5.7 最大模估計(jì) 148
5.7.1 反假設(shè) 148
5.7.2 權(quán)半范 150
5.7.3 投影算子 153
5.7.4 最大模估計(jì) 160
第6章 非標(biāo)準(zhǔn)有限元方法 162
6.1 抽象的連續(xù)混合問(wèn)題 162
6.2 一些例子 165
6.2.1 二階邊值問(wèn)題的混合法 165
6.2.2 二階邊值問(wèn)題的雜交法 166
6.2.3 Stokes問(wèn)題 167
6.2.4 雙調(diào)和方程 168
6.3 逼近問(wèn)題 169
6.4 二階邊值問(wèn)題雜交有限元方法 174
6.4.1 雜交有限元逼近 174
6.4.2 逼近解存在唯一 179
6.4.3 誤差估計(jì) 181
6.4.4 實(shí)例 185
6.5 間斷有限元和Hm(h)空間 185
6.6 空間Hm(hl)的性質(zhì) 193
6.7 變分問(wèn)題的非協(xié)調(diào)逼近 205
6.8 非標(biāo)準(zhǔn)元實(shí)例 214
6.8.1 Wilson元 214
6.8.2 Adini元 216
6.8.3 Crouzeit-Raviart元 219
6.8.4 Morley元 220
6.8.5 Deveubeke元 221
6.8.6 Garey元 222
第7章 有限元方法在工程中的一些應(yīng)用 224
7.1 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的微分方程 224
7.1.1 形變張量形變速度張量 224
7.1.2 應(yīng)力張量 225
7.1.3 線性彈性力學(xué)中應(yīng)力張量和形變張量的依存關(guān)系 226
7.1.4 流體力學(xué)中應(yīng)力張量和形變速度張量之間的依從關(guān)系 227
7.1.5 任意二階張量Tij的Gauss公式 228
7.1.6 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的平衡方程 228
7.1.7 彈性力學(xué)中的Lame方程和彈性勢(shì)能 229
7.1.8 流體力學(xué)中的微分方程組 229
7.2 彈性力學(xué)中的位移法 232
7.2.1 Galerkin變分問(wèn)題和最小位能原理 232
7.2.2 有限元逼近解 234
7.2.3 直角坐標(biāo)系和軸對(duì)稱(chēng)情形 235
7.3 近代梁工程有限元方法 236
7.3.1 三維梁?jiǎn)栴}分解為二維問(wèn)題和一維問(wèn)題 236
7.3.2 一維問(wèn)題的有限元迭代方程組 240
7.3.3 變斷面梁情形 242
7.3.4 加強(qiáng)筋的處理 243
7.4 S-族坐標(biāo)系 247
7.4.1 度量張量與行列式張量 248
7.4.2 Christoffel記號(hào) 250
7.4.3 協(xié)變導(dǎo)數(shù) 251
7.4.4 曲面上任意正交標(biāo)架 252
7.5 殼體問(wèn)題的有限元逼近 252
7.6 中子擴(kuò)散方程本征值問(wèn)題有限元逼近 258
7.6.1 廣義本征值問(wèn)題及迭代格式 259
7.6.2 加速收斂方法 261
7.6.3 計(jì)算實(shí)例 262
7.7 電磁場(chǎng)中的Maxwell方程有限元解 264
7.7.1 Maxwell方程 264
7.7.2 電位和矢位 266
7.7.3 波動(dòng)方程 266
7.7.4 鐵磁性介質(zhì)中的穩(wěn)態(tài)磁場(chǎng) 267
7.7.5 變分問(wèn)題 268
7.8 電磁波散射問(wèn)題的邊界元方法 271
7.9 輻射問(wèn)題有限元———邊界元耦合方法 276
7.9.1 問(wèn)題(7.9.2)解的存在唯一 277
7.9.2 耦合變分問(wèn)題 278
7.9.3 耦合變分問(wèn)題的適定性 279
7.9.4 耦合變分問(wèn)題有限元———邊界元逼近 283
7.9.5 計(jì)算實(shí)例 285
第8章 透平機(jī)械內(nèi)部流場(chǎng)的有限元分析 288
8.1 透平機(jī)械內(nèi)部三元流動(dòng) 288
8.1.1 時(shí)間函數(shù)空間 289
8.1.2 變分問(wèn)題 290
8.1.3 離散化 290
8.1.4 無(wú)黏性流動(dòng) 292
8.2 透平機(jī)械內(nèi)部任意流面流函數(shù)方法 294
8.2.1 任意流面上的流函數(shù) 294
8.2.2 任意流面上流函數(shù)的微分方程 297
8.2.3 環(huán)量密度和角速度 298
8.2.4 例子 299
8.2.5 速度的物理分量 300
8.2.6 邊界條件的計(jì)算 301
8.3 單參數(shù)流面族的生成 303
8.4 有限元逼近解 305
8.4.1 有限元代數(shù)方程組 305
8.4.2 密度的計(jì)算 306
8.4.3 單調(diào)性 306
8.4.4 有限元解的誤差估計(jì) 308
8.4.5 數(shù)值例子 311
8.5 解的存在性和唯一性 311
8.6 跨音速流的最優(yōu)控制有限元解 314
8.7 任意流面上的黏性流 318
8.7.1 流面上流動(dòng)的微分方程 318
8.7.2 原始變量法變分形式 321
8.7.3 有限元方程組 322
8.7.4 例子 323
8.8 位勢(shì)流 326
第9章 Navier-Stokes方程有限元逼近 333
9.1 Navier-Stokes方程 333
9.1.1 定常Navier-Stokes方程的原始變量變分問(wèn)題 335
9.1.2 LBB條件及問(wèn)題(犘)和問(wèn)題(犙)的等價(jià)性 337
9.1.3 弱解的存在性和唯一性 339
9.1.4 迭代序列的收斂性 344
9.2 Navier-Stokes方程加罰方法和算子方程 347
9.2.1 罰方法 347
9.2.2 算子方程 350
9.3 最優(yōu)控制方法 353
9.4 非奇異解分支 361
9.4.1 非奇異解和它的擾動(dòng) 361
9.4.2 求擾動(dòng)解的迭代法 363
9.4.3 非奇異解的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 364
9.4.4 連續(xù)延拓 366
9.4.5 解分支的連續(xù)弧長(zhǎng)算法 367
9.5 Navier-Stokes方程的奇異解 368
9.5.1 奇異和本征值 369
9.5.2 Liapunov-Schmidt過(guò)程 370
9.6 簡(jiǎn)單極限點(diǎn)和簡(jiǎn)單分歧點(diǎn) 374
9.6.1 簡(jiǎn)單極限點(diǎn) 374
9.6.2 簡(jiǎn)單分歧點(diǎn) 376
9.7 Navier-Stokes方程定常二次流 379
9.7.1 二次流與分歧點(diǎn) 379
9.7.2 旋轉(zhuǎn)流動(dòng)問(wèn)題 382
9.7.3 二次Taylor旋渦 391
9.8 非定常Navier-Stokes方程 393
9.9 有限元逼近解誤差分析 403
參考文獻(xiàn) 422