數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入每一個(gè)需要費(fèi)盡心思的科學(xué)領(lǐng)域，并且在生物學(xué)、物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)學(xué)跟工程等方面取得無(wú)法替代的角色。我們可以用數(shù)學(xué)說(shuō)明夕陽(yáng)色彩分布的情況，也可以用來(lái)說(shuō)明人類的大腦結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)幫助我們打造超音速飛機(jī)跟云霄飛車，模擬地球天然資源流轉(zhuǎn)的方式，進(jìn)入次原子的量子世界探索，甚至讓我們得以想象遙遠(yuǎn)的銀河系。數(shù)學(xué)可以說(shuō)是改變了我們看待宇宙的方式。

在本書中，我希望運(yùn)用少量數(shù)學(xué)公式提供一點(diǎn)數(shù)學(xué)品位，而鼓勵(lì)讀者發(fā)揮想象力。對(duì)大多數(shù)讀者而言，這本書所談?wù)摰膽?yīng)該不只是能滿足好奇心卻缺乏實(shí)用價(jià)值的單元，根據(jù)美國(guó)教育部實(shí)際調(diào)查的結(jié)果顯示，能夠順利完成高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)生升上大學(xué)后不論選讀哪一個(gè)專業(yè)，都能夠展現(xiàn)出比較優(yōu)秀的學(xué)習(xí)能力。

數(shù)學(xué)的實(shí)用性讓我們可以建造宇宙飛船，探索所處宇宙的幾何結(jié)構(gòu)。數(shù)字也可能是我們跟有智能的外星生物間所采用的第一種溝通手段 。有些物理學(xué)家認(rèn)為掌握更高空間維度和拓樸學(xué)（topology ，探索形狀與彼此間相互關(guān)系的一門學(xué)問(wèn)），或許有一天當(dāng)現(xiàn)在這個(gè)宇宙處于在極熱或極冷的末日之際 ，我們就能逃出，在不同的時(shí)空環(huán)境下安身立命 。

數(shù)學(xué)史上不乏許多人同步有重大發(fā)現(xiàn)的例子 ，就以這本書里面的莫比烏斯帶（The Mobius Strip）為例 。德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯（August Mobius）和當(dāng)時(shí)另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家利斯廷（Johann Benedict Listing ） 同時(shí)在公元 1858 年各自發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶 （一個(gè)只有單面，神奇的扭曲物體）。這種同步發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象就跟英國(guó)博學(xué)多聞的牛頓 （Isaac Newton ）與德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲 （Gottfried Wilhelm Leibniz ）各自同時(shí)發(fā)現(xiàn)微積分的例子相似 。這些例子讓我不禁懷疑科學(xué)領(lǐng)域?yàn)楹谓?jīng)常有不同人，在相同時(shí)間，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)同一件事情的情況？其他例子還包括英國(guó)博物學(xué)家達(dá)爾文（Charles Darwin ）和華萊士（Alfred Wallace ）都在相同時(shí)間各別提出演化論的觀點(diǎn)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶 （János Bolyai ）和俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky ）似乎也是在同一時(shí)間各別提出雙曲幾何的想法 。

最有可能解釋同步重大發(fā)現(xiàn)的理由，是因?yàn)槿祟愒谀切�時(shí)間點(diǎn)對(duì)于即將誕生的發(fā)現(xiàn) ，已經(jīng)累積足夠的知識(shí)，這些想法自然也就瓜熟蒂落地被提出來(lái)；可能兩位科學(xué)家都受到當(dāng)代其他研究人員同一篇先導(dǎo)研究論文的影響 。另一種帶有神秘色彩的解釋，會(huì)從較深層的觀點(diǎn)說(shuō)明這種巧合。奧地利生物學(xué)家卡梅納（Paul Kammerer ）曾表示：或許我們可以說(shuō)，盡管打散 、重組的過(guò)程在現(xiàn)實(shí)世界繁華的表面下與宇宙無(wú)垠的千變?nèi)f化中不斷重復(fù)發(fā)生，但是物以類聚的現(xiàn)象也會(huì)同時(shí)在這些過(guò)程中產(chǎn)生；卡梅納把現(xiàn)實(shí)世界的重大事件比喻成海洋波濤的頂端，彼此間看起來(lái)各自孤立，毫無(wú)瓜葛，不過(guò)根據(jù)他充滿爭(zhēng)議性的理論，我們其實(shí)只看到上層的波浪，卻沒(méi)注意到海面下可能存在某種同步機(jī)制，詭譎地把世上各種重大事件串在一起，才顯現(xiàn)出這種一波又一波的風(fēng)潮。

易法拉（Georges Ifrah）在 《數(shù)目溯源》 （The Universal History of Numbers）一書中談?wù)擇R雅數(shù)學(xué)時(shí)，順便論及了這種同步情況 ：

我們因此又再一次地見(jiàn)證到，散居在廣大時(shí)空環(huán)境的下互不認(rèn)識(shí)的人……也會(huì)有非常類 似甚至是一模一樣想法。……有些例子的解釋；是因?yàn)樗麄兘佑|了另一群不一樣的人并受到 對(duì)方的影響，……真正的有效解釋是因?yàn)榍懊嫣徇^(guò)的深層文化融合：智人（Homo sapiens）這種生物的智力具有共通性，把世界各個(gè)角落統(tǒng)整串連的潛力非常可觀。

古代的希臘人深深受到數(shù)目字的吸引。在這個(gè)不停變動(dòng)世界的艱困年代，會(huì)不會(huì)只有數(shù)目字才是唯一恒常不變的？對(duì)于源自一門古希臘學(xué)派、畢達(dá)哥拉斯理念的追隨者而言，數(shù)目字是具體不變、和緩永恒的比所有朋友更值得信賴，卻不像阿波羅或宙斯般讓人無(wú)法親近。

本書中有很多條目都跟整數(shù)有關(guān) ，聰穎的數(shù)學(xué)家艾狄胥（Paul Erdos）醉心于數(shù)論有關(guān)于整數(shù)課題的研究，他經(jīng)常能輕易使用整數(shù)提出問(wèn)題，盡管問(wèn)題的陳述很簡(jiǎn)單，但是每一題卻都是出了名的難解。艾狄胥認(rèn)為如果有任何數(shù)學(xué)問(wèn)題提出后經(jīng)過(guò)一個(gè)世紀(jì)依然無(wú)解的話，那一定是個(gè)跟數(shù)論有關(guān)的問(wèn)題。

有很多宇宙萬(wàn)物可以用整數(shù)表達(dá)之，譬如用整數(shù)描述菊花花瓣構(gòu)成的方式、兔子的繁衍、行星的軌道、音樂(lè)的合弦，以及周期表元素間的關(guān)系。德國(guó)代數(shù)學(xué)家暨數(shù)論大師克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker）曾經(jīng)說(shuō)過(guò) ：只有整數(shù)來(lái)自于上帝 ，其他都是人造的 。這句話也暗示整數(shù)是一切數(shù)學(xué)的最主要根源 。

自從畢達(dá)哥拉斯的年代以來(lái)，按照整數(shù)比例演奏出的音樂(lè)，就相當(dāng)受歡迎，更重要的是，在人類理解科學(xué)的演進(jìn)過(guò)程中，整數(shù)也扮演著相關(guān)關(guān)鍵的角色，像是法國(guó)化學(xué)家拉瓦節(jié) （Antoine Lavoisier）就是依照整數(shù)比調(diào)配組成化合物的元素，顯示出原子存在的強(qiáng)烈證據(jù)。公元 1925 年，激態(tài)原子放射出一定整數(shù)比的光譜波長(zhǎng)，也是當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)原子結(jié)構(gòu)的一項(xiàng)證據(jù)。幾乎按照整數(shù)比呈現(xiàn)的原子量，顯示原子核是由整數(shù)個(gè)數(shù)的相似核子（質(zhì)子跟中子）所組成，與整數(shù)比的誤差則促成同位素（基本元素的變形體，擁有幾乎一樣的化學(xué)特性，只在中子數(shù)的個(gè)數(shù)上有所差異）的發(fā)現(xiàn) 。

純同位素 （pure isotope ）原子量無(wú)法完全以整數(shù)比呈現(xiàn)的微小差異 ，確認(rèn)了愛(ài)因斯坦 （Albert Einstein）著名方程式E＝mc2是成立的，也顯示出生產(chǎn)原子彈的可能。在原子物理領(lǐng)域隨處可見(jiàn)整數(shù)的存在 。整數(shù)關(guān)系是組成數(shù)學(xué)最基本的一股勢(shì)力或者引用高斯 （Carl Friedrich Gauss ）的說(shuō)法 ：數(shù)學(xué)是所有科學(xué)的女王而數(shù)論則是數(shù)學(xué)中的天后 。

用數(shù)學(xué)描述宇宙這門學(xué)科成長(zhǎng)迅速，但是，我們的思考方式跟語(yǔ)言表達(dá)能力卻還有待好好加強(qiáng)。我們一直發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)，但是，我們還需要用更先進(jìn)的思維才能加以理解。譬如最近這幾年已經(jīng)有人針對(duì)數(shù)學(xué)史上幾個(gè)最著名問(wèn)題提出證明，可是，他們的論證方式非常冗長(zhǎng)又復(fù)雜 ，就連專家們也都沒(méi)辦法確定這些論證是否正確。數(shù)學(xué)家哈里斯（Thomas Hales）將一篇幾何學(xué)論文投稿到世界頂級(jí)數(shù)學(xué)雜志《數(shù)學(xué)年刊》 （Annals of Mathematics）后 ，整整花了五年的時(shí)間等待專家審查意見(jiàn)專家們最后的結(jié)論是找不到這篇論文哪里有錯(cuò)，建議該期刊加以發(fā)表，可是必須加上免責(zé)聲明他們無(wú)法肯定這個(gè)證明是對(duì)的！另一個(gè)例子來(lái)自數(shù)學(xué)家德福林（Keith Devlin），他在 《紐約時(shí)報(bào)》（New York Times）刊出的文章中承認(rèn) ：數(shù)學(xué)已經(jīng)進(jìn)展到一個(gè)相當(dāng)抽象的程度 ，甚至就連專家有時(shí)都無(wú)法理解最新的研究課題到底在講什么 。如果就連專家都有這樣的困擾，想要把這些信息傳遞給普羅大眾當(dāng)然更是困難重重，我們只好竭盡所能，盡力而為。雖然數(shù)學(xué)家們?cè)诮��?gòu)理論、執(zhí)行運(yùn)算這些方面很在行，不過(guò)他們?cè)谌跁?huì)貫通、解說(shuō)傳達(dá)先進(jìn)觀念的能力恐怕還是有所不足。

在此引用物理作為模擬。當(dāng)海森堡 （Werner Heisenberg）擔(dān)心一般人可能永遠(yuǎn)也無(wú)法真正理解原子是怎么一回事時(shí)，波耳（Niels Bohr）顯得相對(duì)樂(lè)觀。公元 1920 年，波耳在一封回給海森堡的信中提到 ：我認(rèn)為這是有可能的 ，但是要配合我們重新認(rèn)識(shí)理解這個(gè)詞匯真正意涵的過(guò)程 。我們現(xiàn)在使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行研究的真正原因，是因?yàn)槲覀冎庇^能力有限，透過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)際上已經(jīng)讓數(shù)學(xué)家們?nèi)〉酶�進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)與洞見(jiàn)，這是在計(jì)算機(jī)普及以前作夢(mèng)也想不到的結(jié)果。計(jì)算機(jī)及其繪圖功能，讓數(shù)學(xué)家們?cè)缭谟修k法正式完成證明之前，就先看到結(jié)果，也開啟了一項(xiàng)全新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，就連電子表格這種簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)工具，也能讓現(xiàn)代數(shù)學(xué)家擁有高斯、歐拉 （Leonhard Euler）、牛頓等人渴望的數(shù)學(xué)功力。隨便舉個(gè)例子 20世紀(jì)90年代末由貝利（David Bailey）跟佛格森（Helaman Ferguson）兩人設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)程序用一條新公式把圓周率 、log 5和其他兩個(gè)常數(shù)串在一塊，如同克拉瑞克 （Erica Klarreich ）在 《科學(xué)新知》（Science News）上的報(bào)導(dǎo)，只要計(jì)算機(jī)能把公式先找出來(lái)，事后完成證明的工作就簡(jiǎn)單多了， 畢竟在完成數(shù)學(xué)證明的過(guò)程中，簡(jiǎn)單地知道答案這項(xiàng)工作，通常也是最難以跨越的障礙。

我們有時(shí)候會(huì)用數(shù)學(xué)理論預(yù)測(cè)某些要經(jīng)過(guò)好幾年后才能確認(rèn)的現(xiàn)象，譬如以物理學(xué)家馬克斯韋爾（James Clerk Maxwell）命名的馬克斯韋爾方程式（Maxwell equation）預(yù)測(cè)了無(wú)線電波的存在；愛(ài)因斯坦場(chǎng)論方程式 （fields equation ）指出重力可以折彎光線及宇宙擴(kuò)張論。物理學(xué)家狄拉克（Paul Dirac）曾說(shuō)過(guò)，今天研究的數(shù)學(xué)課題可以讓我們偷偷瞄見(jiàn)未來(lái)的物理理論，事實(shí)上，狄拉克的方程式預(yù)測(cè)了之后才陸陸續(xù)續(xù)發(fā)現(xiàn)的反物質(zhì)（antimatter）存在。數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基也說(shuō)過(guò)類似的話：就算再抽象的數(shù)學(xué)分支 ，也總有一天會(huì)運(yùn)用在詮釋現(xiàn)實(shí)世界的物理現(xiàn)象上。