上篇 數(shù)值算法分析
第1章 緒論(1)
1.1 數(shù)值分析研究的對象與特點(diǎn)(1)
1.2 誤差來源與誤差分析的重要性(2)
1.3 誤差的基本概念(4)
1.3.1 誤差與誤差限(4)
1.3.2 相對誤差與相對誤差限(5)
1.3.3 有效數(shù)字(6)
1.3.4 數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)(7)
1.4 數(shù)值運(yùn)算中誤差分析的方法與原則(9)
1.4.1 要避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法(9)
1.4.2 要避免兩相近數(shù)相減(10)
1.4.3 要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)(11)
1.4.4 注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)(11)
小結(jié)(12)
習(xí)題(12)
第2章 插值法(14)
2.1 引言(14)
2.2 Lagrange插值(15)
2.2.1 插值多項(xiàng)式的存在唯一性(15)
2.2.2 線性插值與拋物插值(16)
2.2.3 Lagrange插值多項(xiàng)式(18)
2.2.4 插值余項(xiàng)(19)
2.3 逐次線性插值法(21)
2.4 差商與Newton插值公式(23)
2.4.1 差商及其性質(zhì)(23)
2.4.2 Newton插值公式(24)
2.5 差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式(26)
2.5.1 差分及其性質(zhì)(26)
2.5.2 等距節(jié)點(diǎn)插值公式(28)
2.6Hermite插值(29)
2.7 分段低次插值(32)
2.7.1 多項(xiàng)式插值的問題(32)
2.7.2 分段線性插值(33)
2.7.3 分段三次Hermite插值(34)
2.8 三次樣條插值(36)
2.8.1 三次樣條函數(shù)(36)
2.8.2 三轉(zhuǎn)角方程(37)
2.8.3 三彎矩方程(39)
2.8.4 計(jì)算步驟與例題(40)
2.8.5 三次樣條插值的收斂性(41)
小結(jié)(42)
習(xí)題(43)
第3章 函數(shù)逼近與計(jì)算(45)
3.1 引言與預(yù)備知識(45)
3.1.1 問題的提出(45)
3.1.2 Weierstrass定理(46)
3.1.3 連續(xù)函數(shù)空間C［a,b］(47)
3.2 最佳一致逼近多項(xiàng)式(47)
3.2.1 最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性(47)
3.2.2 Chebyshev定理(48)
3.2.3 最佳一次逼近多項(xiàng)式(50)
3.3 最佳平方逼近(52)
3.3.1 內(nèi)積空間(52)
3.3.2 函數(shù)的最佳平方逼近(54)
3.4 正交多項(xiàng)式(57)
3.4.1 正交化手續(xù)(57)
3.4.2 Legendre多項(xiàng)式(57)
3.4.3 Chebyshev多項(xiàng)式(60)
3.4.4 其他常用的正交多項(xiàng)式(62)
3.5 函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開(63)
3.6 曲線擬合的最小二乘法(65)
3.6.1 一般的最小二乘逼近(65)
3.6.2 用正交函數(shù)作最小二乘擬合(69)
3.6.3 多元最小二乘擬合(71)
3.7 Fourier逼近與快速Fourier變換(71)
3.7.1 最佳平方三角逼近與三角插值(71)
3.7.2 快速Fourier變換(74)
小結(jié)(77)
習(xí)題(77)
第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分(80)
4.1 引言(80)
4.1.1 數(shù)值求積的基本思想(80)
4.1.2 代數(shù)精度的概念(81)
4.1.3 插值型的求積公式(82)
4.2 Newton-Cotes公式(82)
4.2.1 Cotes系數(shù)(82)
4.2.2 偶階求積公式的代數(shù)精度(84)
4.2.3 幾種低階求積公式的余項(xiàng)(85)
4.2.4 復(fù)化求積法及其收斂性(86)
4.3 Romberg算法(88)
4.3.1 梯形法的遞推化(88)
4.3.2 Romberg公式(89)
4.3.3 Richardson外推加速法(91)
4.3.4 梯形法的余項(xiàng)展開式(92)
4.4 Gauss公式(93)
4.4.1 Gauss點(diǎn)(94)
4.4.2 Gauss�睱egendre公式(95)
4.4.3 Gauss公式的余項(xiàng)(96)
4.4.4 Gauss公式的穩(wěn)定性(96)
4.4.5 帶權(quán)的Gauss公式(97)
4.5 數(shù)值微分(99)
4.5.1 中點(diǎn)方法(99)
4.5.2 插值型的求導(dǎo)公式(100)
4.5.3 實(shí)用的五點(diǎn)公式(102)
4.5.4 樣條求導(dǎo)(103)
小結(jié)(104)
習(xí)題(104)
第5章 常微分方程數(shù)值解法(106)
5.1 引言(106)
5.2 Euler方法(106)
5.2.1 Euler格式(106)
5.2.2 后退的Euler格式(108)
5.2.3 梯形格式(109)
5.2.4 改進(jìn)的Euler格式(110)
5.2.5 Euler兩步格式(111)
5.3 Runge�睰utta方法(113)
5.3.1 Taylor級數(shù)法(113)
5.3.2 Runge�睰utta方法的基本思想(114)
5.3.3 二階Runge�睰utta方法(115)
5.3.4 三階Runge�睰utta方法(116)
5.3.5 四階Runge�睰utta方法(118)
5.3.6 變步長的Runge�睰utta方法(119)
5.4 單步法的收斂性和穩(wěn)定性(120)
5.4.1 單步法的收斂性(120)
5.4.2 單步法的穩(wěn)定性(122)
5.5 線性多步法(124)
5.5.1 基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法(124)
5.5.2 Adams顯式格式(125)
5.5.3 Adams隱式格式(126)
5.5.4 Adams預(yù)測�残Ｕ�系統(tǒng)(127)
5.5.5 基于Taylor展開的構(gòu)造方法(128)
5.5.6 Milne格式(130)
5.5.7 Hamming格式(131)
5.6 方程組與高階方程的情形(132)
5.6.1 一階方程組(132)
5.6.2 化高階方程組為一階方程組(133)
5.7 邊值問題的數(shù)值解法(134)
5.7.1 試射法(135)
5.7.2 差分方程的建立(135)
5.7.3 差分問題的可解性(137)
5.7.4 差分方法的收斂性(138)
小結(jié)(140)
習(xí)題(140)
第6章 方程求根(142)
6.1 根的搜索(142)
6.1.1 逐步搜索法(142)
6.1.2 二分法(142)
6.2 迭代法(144)
6.2.1 迭代過程的收斂性(144)
6.2.2 迭代公式的加工(147)
6.3 Newton法(149)
6.3.1 Newton公式(149)
6.3.2 Newton法的幾何解釋(150)
6.3.3 Newton法的局部收斂性(151)
6.3.4 Newton法應(yīng)用舉例(152)
6.3.5 Newton下山法(153)
6.4 弦截法與拋物線法(154)
6.4.1 弦截法(155)
6.4.2 拋物線法(156)
6.5 代數(shù)方程求根(158)
6.5.1 多項(xiàng)式求值的秦九韶算法(158)
6.5.2 代數(shù)方程的Newton法(159)
6.5.3 劈因子法(160)
小結(jié)(162)
習(xí)題(162)
第7章 解線性方程組的直接方法(164)
7.1 引言(164)
7.2 Gauss消去法(164)
7.2.1 消元手續(xù)(165)
7.2.2 矩陣的三角分解(168)
7.2.3 計(jì)算量(170)
7.3 Gauss主元素消去法(171)
7.3.1 完全主元素消去法(172)
7.3.2 列主元素消去法(173)
7.3.3 Gauss�睯ordan消去法(175)
7.4 Gauss消去法的變形(178)
7.4.1 直接三角分解法(178)
7.4.2 平方根法(181)
7.4.3 追趕法(184)
7.5 向量和矩陣的范數(shù)(186)
7.6 誤差分析(192)
7.6.1 矩陣的條件數(shù)(192)
7.6.2 舍入誤差(197)
小結(jié)(198)
習(xí)題(198)
第8章 解線性方程組的迭代法(202)
8.1 引言(202)
8.2 Jacobi迭代法與Gauss�睸eidel迭代法(204)
8.2.1 Jacobi迭代法(204)
8.2.2 Gauss�睸eidel迭代法(205)
8.3 迭代法的收斂性(206)
8.4 解線性方程組的超松弛迭代法(213)
小結(jié)(217)
習(xí)題(217)
第9章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算(220)
9.1 引言(220)
9.2 冪法及反冪法(222)
9.2.1 冪法(222)
9.2.2 加速方法(225)
9.2.3 反冪法(227)
9.3 Householder方法(230)
9.3.1 引言(230)
9.3.2 用正交相似變換約化矩陣(232)
9.4 QR算法(237)
9.4.1 引言(237)
9.4.2 QR算法(239)
9.4.3 帶原點(diǎn)位移的QR方法(242)
小結(jié)(246)
習(xí)題(246)
下篇 高效算法設(shè)計(jì)
第10章 快速算法設(shè)計(jì)：快速Walsh變換(248)
10.1 美的Walsh函數(shù)(248)
10.1.1 微積分的逼近法(248)
10.1.2 Walsh函數(shù)的復(fù)雜性(249)
10.1.3 Walsh分析的數(shù)學(xué)美(250)
10.2 Walsh函數(shù)代數(shù)化(251)
10.2.1 時(shí)基上的二分集(251)
10.2.2 Walsh函數(shù)的矩陣表示(252)
10.3 Walsh陣的二分演化(252)
10.3.1 矩陣的對稱性復(fù)制(253)
10.3.2 Walsh陣的演化生成(253)
10.3.3 Walsh陣的演化機(jī)制(254)
10.3.4 Hadamard陣的演化生成(255)
10.4 快速變換FWT(257)
10.4.1 FWT的設(shè)計(jì)思想(257)
10.4.2 FWT的演化機(jī)制(258)
10.4.3 FWT的計(jì)算流程(259)
10.4.4 FWT的算法實(shí)現(xiàn)(261)
小結(jié)(262)
第11章 并行算法設(shè)計(jì)：遞推計(jì)算并行化(263)
11.1 什么是并行計(jì)算(263)
11.1.1 一則寓言故事(263)
11.1.2 同步并行算法的設(shè)計(jì)策略(264)
11.2 疊加計(jì)算(265)
11.2.1 倍增技術(shù)(265)
11.2.2 二分手續(xù)(267)
11.2.3 數(shù)列求和的二分法(268)
11.2.4 多項(xiàng)式求值的二分法(269)
11.2.5 二分算法的效能分析(270)
11.2.6 二分算法的基本特征(271)
11.3 一階線性遞推(272)
11.3.1 相關(guān)鏈的二分手續(xù)(272)
11.3.2 算式的建立(273)
11.3.3 二分算法的效能分析(275)
11.4 三對角方程組(275)
11.4.1 相關(guān)鏈的二分手續(xù)(276)
11.4.2 算式的建立(277)
小結(jié)(279)
第12章 加速算法設(shè)計(jì)：重差加速技術(shù)(281)
12.1 千古疑案(281)
12.1.1 阿基米德的“窮竭法”(281)
12.1.2 祖沖之“綴術(shù)”之謎(281)
12.2 神來之筆(282)
12.2.1 數(shù)學(xué)史上一篇千古奇文(282)
12.2.2 “一飛沖天”的“劉徽神算”(283)
12.3 奇光異彩(284)
12.3.1 劉徽的新視野(285)
12.3.2 偏差比中傳出好“消息”(286)
12.3.3 只要做一次“俯沖”(286)
12.3.4 差之毫厘，失之千里(287)
12.3.5 “綴術(shù)”再剖析(288)
12.3.6 平庸的新紀(jì)錄(289)
12.4 萬能引擎(291)
12.4.1 逼近加速的重差公設(shè)(292)
12.4.2 重差加速法則(292)
12.4.3重差加速的邏輯推理(293)
第13章 總覽(294)
13.1 算法重在設(shè)計(jì)(294)
13.1.1 算法設(shè)計(jì)關(guān)系到科學(xué)計(jì)算的成敗(294)
13.1.2 算法設(shè)計(jì)追求簡單與統(tǒng)一(295)
13.2 直接法的縮減技術(shù)(295)
13.2.1 數(shù)列求和的累加算法(295)
13.2.2 縮減技術(shù)的設(shè)計(jì)機(jī)理(296)
13.2.3 多項(xiàng)式求值的秦九韶算法(297)
13.3 迭代法的校正技術(shù)(298)
13.3.1 開方算法(298)
13.3.2 校正技術(shù)的設(shè)計(jì)機(jī)理(299)
13.4 迭代優(yōu)化的超松弛技術(shù)(300)
13.4.1 超松弛技術(shù)的設(shè)計(jì)機(jī)理(300)
13.4.2 劉徽的“割圓術(shù)”(300)
13.5 遞推加速的二分技術(shù)(301)
13.5.1 “結(jié)繩記數(shù)”的快速算法(301)
13.5.2 二分技術(shù)的設(shè)計(jì)機(jī)理(302)
小結(jié)(303)
部分習(xí)題答案(305)
參考文獻(xiàn)(308)