目錄
前言 iii
第1章 引語:認識數(shù)學思想方法 001
1.1 數(shù)學方法論概述 001
1.2 數(shù)學思想方法 004
1.2.1 數(shù)學思想與數(shù)學方法 004
1.2.2 數(shù)學思想方法與數(shù)學教育 006
第2章 化歸:數(shù)學家的求解模式 013
2.1 化歸的基本思想 013
2.1.1 化歸的思想實質 013
2.1.2 化歸的普遍意義 015
2.1.3 化歸與聯(lián)想 017
2.2 化歸策略(一) 020
2.2.1 映射法 020
2.2.2 構造法 029
2.2.3 一般化與特殊化 045
2.2.4 等價化與強化 059
2.3 化歸策略(二) 064
2.3.1 重組法 064
2.3.2 分治法 074
2.3.3 逆變法 081
2.3.4 遞進(退)法 088
第3章 抽象:數(shù)學物的創(chuàng)造法則 102
3.1 數(shù)學的抽象性 102
3.1.1 抽象性——數(shù)學的本質特點 102
3.1.2 數(shù)學抽象的特殊性 104
3.1.3 數(shù)學抽象的客觀基礎 108
3.2 數(shù)學抽象的方法 119
3.2.1 對數(shù)學抽象方法的辯證認識 119
3.2.2 數(shù)學抽象的基本形式 121
3.2.3 數(shù)學抽象的基本原則 127
3.3 數(shù)學抽象定義賞析 131
3.3.1 函數(shù)與運算 132
3.3.2 數(shù)的抽象構造 135
3.3.3 動力系統(tǒng) 139
3.3.4 圖靈機 141
第4章 公理化:數(shù)學理論的“建筑師” 146
4.1 數(shù)學公理化的思想 146
4.1.1 數(shù)學公理化方法的歷史演進過程 146
4.1.2 數(shù)學公理化方法的作用和影響 152
4.2 數(shù)學公理化方法的基本問題 157
4.2.1 實質公理化方法與形式公理化方法 157
4.2.2 數(shù)學公理化方法的邏輯特征 159
4.3 幾個重要的公理體系 165
4.3.1 歐幾里得幾何公理體系 165
4.3.2 希爾伯特幾何公理體系 167
4.3.3 實數(shù)公理體系 170
4.3.4 ZF集合論公理系統(tǒng) 171
4.4 形式系統(tǒng)簡說 173
4.4.1 形式語言 174
4.4.2 形式語言的語義 175
4.4.3 形式語言的推理系統(tǒng) 176
4.4.4 證明與定理 177
4.4.5 推演 177
第5章 合情推理:數(shù)學猜想的邏輯引擎 179
5.1 合情推理的界定 179
5.1.1 合情推理的內涵 179
5.1.2 合情推理與演繹推理的關系 185
5.2 歸納推理與類比推理例說 188
5.2.1 歸納推理 189
5.2.2 類比推理 199
5.2.3 歸納推理與類比推理的關系 212
5.3 合情推理模式 217
5.3.1 合情推理基本模式 217
5.3.2 合情推理模式的修正與擴充 219
5.3.3 兩個例子 221
第6章 算法:數(shù)學發(fā)展的機械化之路 225
6.1 算法的基本思想 225
6.1.1 算法的概念 225
6.1.2 數(shù)學發(fā)展史上的算法思想 229
6.2 算法設計的一般方法 235
6.2.1 窮舉法 236
6.2.2 回溯法 237
6.2.3 貪心法 242
6.2.4 遞歸法 245
6.2.5 遞推法 251
6.3 算法理論的發(fā)展 254
6.3.1 可計算性理論 254
6.3.2 算法復雜性理論 256
第7章 展望:從數(shù)學思想方法走向數(shù)學觀念 262
7.1 數(shù)學觀念的內涵 262
7.2 作為教育任務的數(shù)學觀念 265
參考文獻 278