本教材分為上下兩冊。上冊內(nèi)容包括函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分, 定積分及定積分的應(yīng)用、常微分方程。下冊內(nèi)容包括向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級(jí)數(shù)等部分。本書為上冊。該課程基于學(xué)生的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ), 引入高等數(shù)學(xué)的理念、思想和方法, 提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問題的意識(shí)和能力。
本教材基于學(xué)生的初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，引入高等數(shù)學(xué)的理念、思想和方法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問題的意識(shí)和能力。
高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校的一門重要基礎(chǔ)課程，更是理工科學(xué)生接受高等教育不可或缺的一部分。已獲得公眾認(rèn)知的是：高等數(shù)學(xué)不僅為理工科學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程提供所必需的數(shù)學(xué)知識(shí)；而且為工程技術(shù)人員處理科學(xué)問題提供必要的理論依據(jù).然而，高等數(shù)學(xué)本身不僅僅是一門科學(xué)，更重要的是，通過分析、歸納、推理等各項(xiàng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的訓(xùn)練，能夠使學(xué)生具備理性思維能力、邏輯推理能力以及綜合判斷能力.
為了適應(yīng)高等教育的發(fā)展，順利完成精英化教育向大眾化教育的轉(zhuǎn)型，本著“以人為本、因材施教、夯實(shí)基礎(chǔ)、創(chuàng)新應(yīng)用”的指導(dǎo)思想，大連民族大學(xué)理學(xué)院組織了具有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的一線教師編寫本教材.
本書以教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)制定的《工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求》為依據(jù)，在知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面與“基本要求”相一致的基礎(chǔ)上，對(duì)課程內(nèi)容體系進(jìn)行了整體優(yōu)化，強(qiáng)化了高等數(shù)學(xué)與后續(xù)專業(yè)課程的聯(lián)系，使之更側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)能力和應(yīng)用能力，以適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型、復(fù)合型本科人才的培養(yǎng)目標(biāo).與傳統(tǒng)教材相比，我們在編寫時(shí)特別注意了以下3個(gè)方面：
1.在知識(shí)體系的編排上，突出基礎(chǔ)的重要地位.對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)膬?yōu)化和調(diào)整，減少課程內(nèi)容的重復(fù)講授.例如，在傳統(tǒng)教材中，函數(shù)和數(shù)列極限是幾乎被忽略的內(nèi)容，只用很少的篇幅進(jìn)行介紹，并且在授課時(shí)也只是泛泛講解，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是非常不利的.一方面，函數(shù)是微積分的研究對(duì)象，極限是微積分的研究工具，淡化了這些基礎(chǔ)內(nèi)容，不利于學(xué)生完成從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的思維方式的跨越；另一方面，學(xué)生從高考結(jié)束到進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)，空閑了至少2個(gè)月的時(shí)間，淡化了這些內(nèi)容，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的內(nèi)容影響很大.本書中，我們將函數(shù)和數(shù)列極限分別作為一章講述；將定積分及定積分的應(yīng)用合并成一章；由于定積分在物理方面的應(yīng)用與大學(xué)物理課程的內(nèi)容重復(fù)，故將其刪去；為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握，將常微分方程一章中的所有應(yīng)用題單列一節(jié)講授.
2.在課程內(nèi)容的編寫上，注重知識(shí)點(diǎn)的使用方法和技巧.在給出重要的定義和定理時(shí)，對(duì)其進(jìn)行必要的說明，指出了在使用定義和定理解決相關(guān)問題時(shí)的誤區(qū)，列舉了一些典型反例；對(duì)典型例題進(jìn)行先分析提示，再引導(dǎo)求解，逐步使學(xué)生在學(xué)習(xí)“規(guī)則”時(shí)，能夠正確理解并合理使用這些“規(guī)則”，做題時(shí)有理可依、有據(jù)可查.
3.在例題、習(xí)題的選配上，注重不同的層次和類別.為了滿足不同專業(yè)、不同層次學(xué)生的需求，將例題分為三個(gè)層次.第一層次注重的是定義和定理，使學(xué)生能夠正確合理使用這些知識(shí)點(diǎn)解決一些基本問題；第二層次注重的是數(shù)學(xué)的方法和技巧，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)解決一些相對(duì)復(fù)雜的問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和計(jì)算能力；第三層次注重的是應(yīng)用，使學(xué)生能夠綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決一些較為困難的問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).此外，對(duì)于同一類型題，我們選配了多個(gè)例題，教師可以有選擇地講授，其余的學(xué)生可以自學(xué).將習(xí)題分為A和B兩類，學(xué)生通過學(xué)習(xí)第一、第二層次的例題便可以解決A類題中的內(nèi)容，而B類題的內(nèi)容相對(duì)復(fù)雜，求解較為困難，主要是為了滿足部分專業(yè)和部分考研學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的實(shí)際需求.
本書在編寫過程中，各位參與編寫的教師能夠統(tǒng)一思想、團(tuán)結(jié)協(xié)作，歷經(jīng)了充分調(diào)研、反復(fù)論證、獨(dú)立撰寫、相互審閱、及時(shí)修補(bǔ)等環(huán)節(jié)，使本書從初稿、統(tǒng)稿到定稿能夠分階段順利完成.其中，第1，9章由謝叢波編寫；第2，3，8章由焦佳編寫；第4，5，11，12章由董麗編寫；第6，7，10章由張文正編寫；第13章由楚振艷編寫.謝叢波為本書繪制了圖形.最后由袁學(xué)剛和張友負(fù)責(zé)全書的統(tǒng)稿及修改定稿，并對(duì)各個(gè)章節(jié)及課后習(xí)題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)男薷?
本書的順利出版，離不開大連民族大學(xué)各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心和支持，在此表示感謝.還要特別感謝清華大學(xué)出版社的劉穎編審，他對(duì)本書的初稿進(jìn)行了認(rèn)真的審閱，給予了具體的指導(dǎo)，提出了寶貴的建議.本書在編寫過程中，我們參閱了大量的國內(nèi)外各種版本的同類教材，并借鑒了這些教材的一些經(jīng)典例題和習(xí)題，由于難以一一列舉出處，深感歉疚，只能在此一并表示由衷的謝意.
盡管我們投入了大量的精力，但由于水平有限，書中還會(huì)存在某些不足或錯(cuò)誤，懇請廣大同行、讀者批評(píng)指導(dǎo)，以期進(jìn)一步修正和完善.
編者2017年7月
第1章函數(shù)
1.1基本概念
1.1.1集合、區(qū)間、絕對(duì)值和鄰域
1.1.2函數(shù)的定義
1.1.3具有某種特性的函數(shù)
1.1.4函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)
習(xí)題1.1
1.2初等函數(shù)
1.2.1基本初等函數(shù)
1.2.2初等函數(shù)的定義及其范例
習(xí)題1.2
1.3函數(shù)關(guān)系的幾種表示方法
1.3.1函數(shù)的分段表示
1.3.2函數(shù)的隱式表示
1.3.3函數(shù)的參數(shù)表示
習(xí)題1.3
復(fù)習(xí)題1
第2章數(shù)列及其極限
2.1數(shù)列的極限
2.1.1數(shù)列
2.1.2收斂數(shù)列
2.1.3數(shù)列和子數(shù)列之間的關(guān)系
2.1.4數(shù)列中的無窮小量和無窮大量
2.1.5數(shù)列極限的基本性質(zhì)
習(xí)題2.1
2.2數(shù)列極限的運(yùn)算法則
2.2.1四則運(yùn)算法則
2.2.2夾逼準(zhǔn)則
2.2.3單調(diào)有界原理和一個(gè)重要的極限
習(xí)題2.2
復(fù)習(xí)題2
第3章函數(shù)的極限與連續(xù)
3.1函數(shù)的極限
3.1.1函數(shù)極限的定義
3.1.2無窮小量和無窮大量
習(xí)題3.1
3.2函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則
3.2.1函數(shù)極限的基本性質(zhì)
3.2.2函數(shù)極限的運(yùn)算法則
3.2.3夾逼準(zhǔn)則和兩個(gè)重要的極限
習(xí)題3.2
3.3無窮小量的比較
3.3.1無窮小量的階
3.3.2等價(jià)無窮小的替換原理
習(xí)題3.3
3.4連續(xù)函數(shù)
3.4.1連續(xù)函數(shù)的定義
3.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)
習(xí)題3.4
3.5連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)
3.5.1連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算
3.5.2初等函數(shù)的連續(xù)性
3.5.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
習(xí)題3.5
復(fù)習(xí)題3
第4章導(dǎo)數(shù)與微分
4.1基本概念
4.1.1兩個(gè)典型問題
4.1.2導(dǎo)數(shù)的定義
4.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何解釋
4.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系
習(xí)題4.1
4.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
4.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則
4.2.2反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
4.2.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
4.2.4初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
習(xí)題4.2
4.3高階導(dǎo)數(shù)
4.3.1高階導(dǎo)數(shù)的定義
4.3.2高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
習(xí)題4.3
4.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
4.4.1由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
4.4.2由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
習(xí)題4.4
4.5函數(shù)的微分
4.5.1引例
4.5.2微分的定義
4.5.3微分的幾何解釋
4.5.4微分的運(yùn)算法則和公式
4.5.5微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用
習(xí)題4.5
復(fù)習(xí)題4
第5章微分中值定理及其應(yīng)用
5.1微分中值定理
5.1.1羅爾定理
5.1.2拉格朗日中值定理
5.1.3柯西中值定理
習(xí)題5.1
5.2洛必達(dá)法則
5.2.100型未定式的極限
5.2.2∞∞型未定式的極限
5.2.3其他未定式的極限
習(xí)題5.2
5.3泰勒公式
5.3.1泰勒定理
5.3.2泰勒公式的應(yīng)用
習(xí)題5.3
5.4函數(shù)的性態(tài)(Ⅰ)——單調(diào)性與凸性
5.4.1函數(shù)的單調(diào)性
5.4.2函數(shù)的凸性及其拐點(diǎn)
習(xí)題5.4
5.5函數(shù)的性態(tài)(Ⅱ)——極值與最值
5.5.1函數(shù)的極值
5.5.2最大值與最小值
5.5.3應(yīng)用舉例
習(xí)題5.5
5.6函數(shù)圖形的描繪
5.6.1曲線的漸近線
5.6.2函數(shù)的性態(tài)表與作圖
習(xí)題5.6
5.7曲率
5.7.1弧微分
5.7.2曲率及其計(jì)算公式
5.7.3曲率圓與曲率半徑
習(xí)題5.7
復(fù)習(xí)題5
第6章不定積分
6.1基本概念及性質(zhì)
6.1.1原函數(shù)
6.1.2不定積分的定義
6.1.3不定積分的幾何解釋
6.1.4基本積分公式
6.1.5不定積分的性質(zhì)
習(xí)題6.1
6.2換元積分法
6.2.1第一類換元積分法
6.2.2第二類換元積分法
習(xí)題6.2
6.3分部積分法
習(xí)題6.3
6.4有理函數(shù)的積分及其應(yīng)用
6.4.1有理函數(shù)的積分
6.4.2簡單的無理函數(shù)的積分
6.4.3三角函數(shù)有理式的積分
習(xí)題6.4
復(fù)習(xí)題6
第7章定積分及其應(yīng)用
7.1定積分的概念
7.1.1引例
7.1.2定積分的定義
7.1.3定積分的幾何解釋
習(xí)題7.1
7.2定積分的存在條件及其性質(zhì)
7.2.1定積分的存在條件
7.2.2定積分的性質(zhì)
習(xí)題7.2
7.3微積分基本公式
7.3.1積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)
7.3.2牛頓萊布尼茨公式
習(xí)題7.3
7.4換元積分法和分部積分法
7.4.1定積分的換元法
7.4.2定積分的分部積分法
習(xí)題7.4
7.5反常積分
7.5.1無窮區(qū)間上的反常積分
7.5.2無界函數(shù)的反常積分
習(xí)題7.5
7.6定積分在幾何中的應(yīng)用
7.6.1定積分的微元法
7.6.2平面圖形的面積
7.6.3旋轉(zhuǎn)體的體積
7.6.4平行截面面積為已知的立體的體積
7.6.5平面曲線的弧長
習(xí)題7.6
復(fù)習(xí)題7
第8章常微分方程
8.1微分方程的基本概念
8.1.1引例
8.1.2基本概念
習(xí)題8.1
8.2常微分方程的初等積分法（Ⅰ）
8.2.1分離變量方程
8.2.2一階線性微分方程
8.2.3伯努利方程
習(xí)題8.2
8.3常微分方程的初等積分法（Ⅱ）
8.3.1齊次方程
8.3.2可降階的二階微分方程
8.3.3其他類型的常微分方程
習(xí)題8.3
8.4高階線性微分方程
8.4.1二階線性微分方程解的性質(zhì)
8.4.2二階線性微分方程的通解
習(xí)題8.4
8.5高階常系數(shù)線性微分方程
8.5.1n階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法
8.5.2高階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法
習(xí)題8.5
8.6微分方程的應(yīng)用舉例
復(fù)習(xí)題8
習(xí)題答案及提示
第1章函數(shù)Functions
1.1基本概念Basic concepts
第1章
函數(shù)
Functions
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念以及一些簡單的函數(shù)，但都是基于初等數(shù)學(xué)的范疇.在以微分學(xué)和積分學(xué)為核心的高等數(shù)學(xué)中，各類函數(shù)及其變化性態(tài)是主要的研究對(duì)象.為了更好地學(xué)習(xí)微積分學(xué)的知識(shí)，本章將首先介紹與函數(shù)相關(guān)的一些基本概念和必備知識(shí)；然后列出基本初等函數(shù)及其特性；最后引入函數(shù)的幾種常用表示方法以及一些特殊函數(shù).
1.1基本概念
Basic concepts
在給出函數(shù)的定義之前，首先簡要地介紹集合、區(qū)間、絕對(duì)值和鄰域等一些基本概念.
1.1.1集合、區(qū)間、絕對(duì)值和鄰域〖*2〗
1. 集合
由于函數(shù)都是定義在某些集合上的，因此討論函數(shù)離不開集合這個(gè)概念.一般地，具有某種特定性質(zhì)的事物匯集的總體稱為一個(gè)集合（set），組成這個(gè)集合的事物被稱為集合的元素（element）.如: 一個(gè)班級(jí)可以認(rèn)為是一個(gè)集合，班級(jí)的每一位同學(xué)就是這個(gè)集合的元素；直線方程y=x+2上的所有點(diǎn)組成了一個(gè)集合.通常情況下，集合用大寫字母A，B，C,…表示，集合的元素用小寫字母a，b，c,…表示.
集合與元素之間的關(guān)系為: 若a是集合A的元素，則稱a屬于A，記作a∈A；若a不是集合A的元素，則稱a不屬于A，記作aA.
表示集合的方法通常有兩種: 一種是列舉法，即把集合的全體元素一一列舉出來，如由元素a1,a2,…,an組成的集合A可以表示為A={a1,a2,…,an}；另一種是描述法，即利用集合的某種特征來描述其元素，如xOy平面中單位圓周上點(diǎn)的集合B可以表示為B={(x,y)|x2+y2=1}.
若一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)有限，則稱這個(gè)集合為有限集（finite set），否則稱為無限集（infinite set）.不含任何元素的集合稱為空集（empty set），記作.
最常遇到的數(shù)集有:
全體自然數(shù)（natural number）的集合，記作N；全體整數(shù)（integer）的集合，記作Z；全體有理數(shù)（rational number）的集合，記作Q；全體實(shí)數(shù)（real number）的集合，記作R；全體復(fù)數(shù)（complex number）的集合，記作C.
此外，正整數(shù)、正有理數(shù)和正實(shí)數(shù)的集合分別記作Z+，Q+和R+.如果沒有特殊聲明，本書中用到的數(shù)都是實(shí)數(shù).
下面給出集合間的關(guān)系和運(yùn)算.
設(shè)A和B是兩個(gè)集合，若集合A的所有元素都屬于集合B，則稱A是B的子集（subset），記作AB（或BA），讀作A包含于B（或者B包含A）.若AB，且存在元素a∈B且aA，則稱A是B的真子集（proper subset），記作AB（或者BA）.若AB，且BA，則稱集合A和B相等（equality），記作A=B.
規(guī)定: 空集是任何集合A的子集，即A.
對(duì)于前面給出的各種數(shù)集，顯然有如下關(guān)系成立:
NZQRC和Z+Q+R+.
給定兩個(gè)集合A和B，可以定義如下運(yùn)算:
交集（intersection of sets）A∩B={x|x∈A且x∈B}；
并集（union of sets）A∪B={x|x∈A或x∈B}；
差集（difference of sets）A＼B={x|x∈A且xB}；
余集（complementary set）BcA=A＼B，其中BA.
集合間的各種運(yùn)算及其結(jié)果可以用圖1.1來表示，其中陰影部分表示運(yùn)算的結(jié)果.
圖1.1
2. 區(qū)間
區(qū)間（interval）是高等數(shù)學(xué)課程中經(jīng)常遇到的一類數(shù)集.各種區(qū)間的符號(hào)、名稱、集合表示及在數(shù)軸上的圖形表示如表1.1所示.
表11
符號(hào)名稱集合表示圖形表示
(a,b)
�。踑,b］
(a,b］
�。踑,b)
有限區(qū)間
開區(qū)間{x|a 閉區(qū)間{x|a≤x≤b}
半開區(qū)間{x|a 半開區(qū)間{x|a≤x (a,+∞)
�。踑,+∞)
(-∞,a)
(-∞,a］
無限區(qū)間
開區(qū)間{x|x>a}
閉區(qū)間{x|x≥a}
開區(qū)間{x|x 閉區(qū)間{x|x≤a}
關(guān)于表中記號(hào)的幾點(diǎn)說明：
(1) 表中的各個(gè)區(qū)間與集合的記法是嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的，不能混淆，特別是開區(qū)間(open interval)和閉區(qū)間(closed interval)的記法.
(2) 在有限區(qū)間(finite interval)和無限區(qū)間(infinite interval)中，a,b∈R，且a (3) 無限區(qū)間中的+∞和-∞分別讀作“正無窮”和“負(fù)無窮”，它們僅僅是一種符號(hào)，并不表示數(shù)，可以分別想象為沿著數(shù)軸的正向和負(fù)向無限延伸.詳細(xì)的定義將在后面章節(jié)中給出.特別地，全體實(shí)數(shù)組成的集合R記為R=(-∞,+∞).
3. 絕對(duì)值
實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值（absolute value）記作|a|，它的定義為
|a|=a,a≥0,
-a,a<0.
該定義表明，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|是非負(fù)的，它的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)a,b,c∈R，不難證明如下等式或不等式成立:
(1) |a-b|≥0；(2) |a-b|=|b-a|；(3) |a·b|=|a|·|b|；
(4) |a+b|≤|a|+|b|；(5) |a-c|≤|a-b|+|b-c|（三角不等式）；
(6) |a-b|≥||a|-|b||.
4. 鄰域
設(shè)a∈R，δ>0，數(shù)集{x||x-a|<δ}稱為以點(diǎn)a為中心,δ為半徑的鄰域（neighborhood），簡稱a的δ鄰域，記作U(a,δ)，即
U(a,δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).
當(dāng)不需要注明鄰域的半徑δ時(shí)，常把它表示為U(a)，簡稱點(diǎn)a的鄰域.
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