第1章行列式
　　數(shù)學(xué)是從人們的需要中產(chǎn)生的，行列式是人們從解線性方程組的需要中建立起來的。
　　1.1二階與三階行列式
　　1.二階行列式
　　用記號(hào)表示代數(shù)和，稱記號(hào)為二階行列式，即
　　(1-1)
　　可借助對(duì)角線法則來記憶，參看圖1-1。
　　圖1-1
　　等于實(shí)連線上兩元素乘積與虛連線上兩元素乘積之差。
　　例1-1計(jì)算二階行列式。
　　解
　　2.三階行列式
　　用記號(hào)表示代數(shù)和，稱它為三階行列式，即
　　(1-2)
　　三階行列式含有6項(xiàng)，每項(xiàng)均為不同行、不同列的3個(gè)元素的乘積再冠以正負(fù)號(hào)，其規(guī)律遵循如圖1-2所示的對(duì)角線法則：圖中各實(shí)線連接的3個(gè)元素的乘積是代數(shù)和的正項(xiàng)，各虛線連接的3個(gè)元素的乘積是代數(shù)和的負(fù)項(xiàng)。
　　圖1-2
　　例1-2計(jì)算三階行列式。
　　解
　　例1-3解方程。
　　解由，解得或。
　　對(duì)角線法則只適用于二階和三階行列式，為研究更高階行列式，下面將介紹有關(guān)排列及逆序數(shù)的知識(shí)。
　　1.2排列及其逆序數(shù)
　　定義1-1由個(gè)自然數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)級(jí)排列。
　　例如，2341及4321都是4級(jí)排列，54231是一個(gè)5級(jí)排列。
　　定義1-2在一個(gè)級(jí)排列中，若較大的數(shù)排在較小的數(shù)前面，那么它們就構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。
　　排列的逆序數(shù)記作。
　　求排列逆序數(shù)的方法：若比1大而排在1前面的數(shù)有個(gè)，比2大而排在2前面的數(shù)有個(gè)，比3大而排在3前面的數(shù)有個(gè)，……，則這個(gè)排列的逆序數(shù)為+++…。
　　例1-4求下列排列的逆序數(shù)。
　　(1)45312；(2)7654321。
　　解(1)
　　(2)
　　定義1-3若為奇數(shù)，則稱排列為奇排列；若為偶數(shù)，則稱排列為偶排列。
　　例如，排列7654321是奇排列，排列45312是偶排列。
　　定義1-4將一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)互換位置，這種對(duì)排列的變換稱為對(duì)換。
　　定理1-1任一排列經(jīng)過一次對(duì)換后，其奇偶性改變。
　　證明先證相鄰對(duì)換的情形。
　　設(shè)排列，對(duì)換與，變?yōu)榕帕�。顯然，和這些數(shù)的逆序數(shù)經(jīng)過對(duì)換并不改變，而、兩數(shù)的逆序數(shù)改變?yōu)椋寒?dāng)時(shí)，經(jīng)過對(duì)換后的逆序數(shù)增加1而的逆序數(shù)不變；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過對(duì)換后的逆序數(shù)不變而的逆序數(shù)減少1，所以排列與排列的奇偶性不同。
　　再證一般對(duì)換的情形。
　　設(shè)排列，把它作次相鄰對(duì)換，變成，再作次相鄰對(duì)換，變成�？傊�，經(jīng)過次相鄰對(duì)換，排列變成，所以這兩個(gè)排列的奇偶性相反。
　　定理1-2級(jí)排列共有個(gè)，并且當(dāng)時(shí)，在個(gè)不同的排列中，奇排列與偶排列各占一半。
　　1.3n階行列式
　　為了給出階行列式的定義，先來研究三階行列式的結(jié)構(gòu)。三階行列式的定義為
　　容易看出以下幾點(diǎn)。
　　(1)三階行列式表示所有位于不同行、不同列的3個(gè)元素乘積的代數(shù)和。3個(gè)元素的乘積可以表示為，為3級(jí)排列，當(dāng)遍取3級(jí)排列時(shí)，即得到三階行列式的所有項(xiàng)(不包括正負(fù)號(hào))，共為項(xiàng)。
　　(2)各項(xiàng)的正負(fù)號(hào)與列下標(biāo)的排列對(duì)照如下。
　　帶正號(hào)的三項(xiàng)列下標(biāo)排列：123，231，312。
　　帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng)列下標(biāo)排列：321，213，132。
　　前3個(gè)排列都是偶排列，后3個(gè)排列都是奇排列。因此，各項(xiàng)所帶的正負(fù)號(hào)可以表示為，其中為列下標(biāo)排列的逆序數(shù)。
　　總之，三階行列式可以寫成
　　其中表示對(duì)3級(jí)排列求和。
　　仿此，可把行列式推廣到一般情形。
　　定義1-5令=(1-3)
　　式(1-3)的左端稱為階行列式，其中橫排稱為行，縱排稱為列，稱為行列式的第行第列元素；式(1-3)的右端稱為階行列式的展開式，其中是一個(gè)級(jí)排列，表示對(duì)所有級(jí)排列求和。
　　[注]
　　(1)行列式的展開式是行列式中一切不同行、不同列元素的乘積前面加上符號(hào)的代數(shù)和。
　　(2)階行列式的展開式共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，項(xiàng)中一半前面的符號(hào)取正號(hào)，另一半取負(fù)號(hào)。
　　(3)式(1-3)左端的階行列式可簡(jiǎn)記為。
　　例1-5證明下三角行列式
　　(1-4)
　　證明由于當(dāng)時(shí)，，故中可能不為0的元素，其下標(biāo)應(yīng)有，即,,。
　　在所有排列中，能滿足上述關(guān)系的排列只有一個(gè)自然排列，所以中可能不為0的項(xiàng)只有一項(xiàng)。此項(xiàng)的符號(hào)為正，所以
　　同理，可得上三角行列式
　　(1-5)
　　特別是對(duì)角行列式，即
　　(1-6)
　　這些結(jié)論在以后行列式的計(jì)算中可直接應(yīng)用。
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