你好！感謝你在考研復(fù)習(xí)過程中，選擇了我們這套叢書做伴.在未來接近1年的時(shí)間里，我們將始終跟你在一起并肩作戰(zhàn)，為你保駕護(hù)航.如果你在復(fù)習(xí)過程中，碰到什么問題，我們熱烈地歡迎你聯(lián)絡(luò)我們.你也可以關(guān)注叢書主編朱祥和教授的新浪微博：祥和老師.考研數(shù)學(xué)滿分150分，是研究生考試中非常重要的一門科目，很容易拉開分?jǐn)?shù)，因此是考研學(xué)生必爭的領(lǐng)地，享有得數(shù)學(xué)者得考研的美譽(yù).本書分為三個(gè)部分，即高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，這三個(gè)部分獨(dú)立成體系.本書在總結(jié)歷年考研真題的基礎(chǔ)上，結(jié)合最新的考研命題思路，針對(duì)考研數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)時(shí)間、重點(diǎn)、方式、參考資料、輔導(dǎo)班等基本問題進(jìn)行分析，以助準(zhǔn)備考研的同學(xué)們能夠順利考上自己心儀的學(xué)府.
一、 宏觀復(fù)習(xí)脈絡(luò)1. 知己知彼，百戰(zhàn)不殆1） 考試類型考研數(shù)學(xué)按照考生所報(bào)考的專業(yè)主要可分為三個(gè)類型，即數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三，考查內(nèi)容涉及高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)以及線性代數(shù)三個(gè)部分（注意，數(shù)學(xué)二不考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分）.在數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)三的試卷中，三科所占的比重分別約為 56%、22%、22%，而在數(shù)學(xué)二的試卷中，高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)分別約占 78% 和 22% 的比例.考生在實(shí)際復(fù)習(xí)過程中，要按照三個(gè)部分在考試中所占的比例，合理地分配復(fù)習(xí)時(shí)間.2） 試卷題型在開始復(fù)習(xí)前，必須對(duì)考研數(shù)學(xué)的題型有一個(gè)清楚的把握.考研數(shù)學(xué)的整張?jiān)嚲砜梢苑譃檫x擇題、填空題和解答題三種題型.選擇題有8道題，填空題有6道題，每道題均為4分.這兩部分占了很大的比例，達(dá)到56分.解答題為9道，共94分.對(duì)待這三種不同的題型，應(yīng)該選擇不同的解題方法，例如，在做選擇題和填空題時(shí)，可能會(huì)有一些特殊的處理方法和技巧.如果做這種題還是按照常規(guī)主觀題的做法，有的時(shí)候方法不當(dāng)，本來很簡單的題做成了很復(fù)雜的題，走了彎路，而且浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間.但是，考生也不能片面追求技巧，而是要把這種技巧建立在自身已經(jīng)很牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)之上，做到基礎(chǔ)牢固，技巧添花.3） 考研數(shù)學(xué)考什么據(jù)統(tǒng)計(jì)，每年考研數(shù)學(xué)試題中有60%以上的題目是在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握，所以一定要重視基礎(chǔ).但是很多同學(xué)不夠重視這一點(diǎn)，總是好高騖遠(yuǎn)，一味尋求技巧或者是摳難題，以為這樣才是提高數(shù)學(xué)成績的途徑.其實(shí)，這就是相當(dāng)一部分同學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的惡習(xí).考研數(shù)學(xué)中大部分是中檔題和容易題，所謂的20%的比較有難度的題目，其考查的不過是簡單題目上的進(jìn)一步綜合分析能力，并不是說有多么難.簡而言之，考研數(shù)學(xué)的考試重點(diǎn)在于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與運(yùn)用.4） 善用歷年真題統(tǒng)計(jì)表明，每年的研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)內(nèi)容較之前幾年都有較大的重復(fù)率.當(dāng)年試題與往年考題雷同的約占50%.這些考題或是改變某一數(shù)字，或是改變一種說法，但解題的思路和所用到的知識(shí)點(diǎn)幾乎一樣.需要通過對(duì)考研的試題類型、特點(diǎn)、思路進(jìn)行系統(tǒng)的歸納總結(jié)，并做一定數(shù)量的習(xí)題，有意識(shí)地重點(diǎn)解決解題思路問題.對(duì)于那些具有很強(qiáng)的典型性、靈活性、啟發(fā)性和綜合性的題，要特別注重解題思路和技巧的培養(yǎng).盡管每年試題千變?nèi)f化，但其所考的知識(shí)結(jié)構(gòu)基本相同，題型相對(duì)固定，往往存在明顯的解題套路.提煉題型的目的是提高解題的針對(duì)性，形成思維定式，進(jìn)而提高考生解題的速度和準(zhǔn)確性.例如，考數(shù)學(xué)一的同學(xué)，最好看看往年的其他類數(shù)學(xué)的真題，如數(shù)學(xué)三的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)二的線性代數(shù)等.一方面，這些題目有可能難于數(shù)學(xué)一的，另一方面，這些考題有可能稍作變換后就出現(xiàn)在當(dāng)年的數(shù)學(xué)一考試中.此外，現(xiàn)在的閱卷都是分步給分的，要通過自己不斷地摸索去體會(huì)歷年考試真題，重視總結(jié)歸納、解題思路、套路和經(jīng)驗(yàn)，做到訓(xùn)練有素.這樣在考試中即便碰到很吃力的問題，也可以將分?jǐn)?shù)的損失減到最低.2. 運(yùn)籌帷幄，決勝千里在啟動(dòng)考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之前，首先需要從宏觀上把握考研數(shù)學(xué)全年復(fù)習(xí)規(guī)劃.考研是一個(gè)極具選拔性和自學(xué)性的考試.在學(xué)習(xí)中必須具備良好的心態(tài)和策略，這是成功的保證.學(xué)數(shù)學(xué)靠的是日積月累，靠的是早準(zhǔn)備、早計(jì)劃、早復(fù)習(xí).數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的同學(xué)需要花8～10個(gè)月時(shí)間，稍差的同學(xué)需要花12～15個(gè)月時(shí)間.數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)應(yīng)具有連貫性.由于數(shù)學(xué)分值的重要性以及數(shù)學(xué)內(nèi)容多而雜，量很大，因此應(yīng)該做好打持久戰(zhàn)的心理準(zhǔn)備.事實(shí)上，一旦進(jìn)入考研備考階段，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)就不應(yīng)該間斷，考生最好可以保證每天至少用3個(gè)小時(shí)的時(shí)間來復(fù)習(xí)數(shù)學(xué).特別是到了最后沖刺階段，考生在心理和生理上都難免會(huì)感到疲憊，而此時(shí)恰恰是復(fù)習(xí)備考最關(guān)鍵的時(shí)候.若此時(shí)間斷或者放下對(duì)數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，則會(huì)對(duì)考生的備考狀態(tài)產(chǎn)生不利影響.在最后的復(fù)習(xí)階段中，最好按照考試時(shí)間去做一些強(qiáng)度不太大的模擬題或者已經(jīng)做過的真題，讓自己保持手感，以良好的復(fù)習(xí)心態(tài)積極迎接考試，這是至關(guān)重要的.總體來說，就是要前期把基礎(chǔ)打好，中期進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，后期進(jìn)行技巧培訓(xùn)，日積月累，持之以恒.考生要保持良好平穩(wěn)的心態(tài)，避免情緒因素影響復(fù)習(xí)和考試.每年都有很多考生中途放棄，越到后期越密集，幾乎每天都不斷有人退出競爭，甚至在考場上還有當(dāng)場打退堂鼓的.據(jù)調(diào)查，每年在6月份宣稱準(zhǔn)備考研的同學(xué)中大約只有40%堅(jiān)持到底.這種堅(jiān)持需要超強(qiáng)的毅力和定力.實(shí)現(xiàn)這種超強(qiáng)毅力和定力：一是憑借各人的自制力；二是通過不斷的自我心理暗示來強(qiáng)化信心；三是盡量遠(yuǎn)離干擾源，如盡量不要在宿舍學(xué)習(xí)；四是通過周期性的適當(dāng)放松，甚至發(fā)泄，以保持心理平衡.此外，在復(fù)習(xí)的過程中，一旦復(fù)習(xí)計(jì)劃制訂完成，就要嚴(yán)格按照要求來執(zhí)行.過度地與別人進(jìn)行比較，會(huì)干擾自己的進(jìn)度，影響自己的心理狀態(tài)，擾亂自己的復(fù)習(xí)計(jì)劃.要做到按部就班，循序漸進(jìn)，心中有數(shù).孟子曾經(jīng)說過：天將降大任于斯人也，必先苦其心志，勞其筋骨，餓其體膚，空乏其身，行拂亂其所為，所以動(dòng)心忍性，曾益其所不能.考研對(duì)我們來說，不單單是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查，更是對(duì)考生心理素質(zhì)的巨大考驗(yàn).考生必須要做好足夠的心理準(zhǔn)備，去迎接即將到來的磨煉.考研的路上，請(qǐng)牢牢記得：只有心理強(qiáng)大，才是真正的強(qiáng)大.3. 合理安排每天的復(fù)習(xí)時(shí)間在研究生入學(xué)考試中，數(shù)學(xué)被安排在上午，為了調(diào)整生物鐘與之一致，我們建議考生將數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)時(shí)間安排在上午.每天上午8:3011:30為佳.每天至少應(yīng)該花3個(gè)小時(shí)來復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，其中用1.5～2個(gè)小時(shí)的時(shí)間理解、掌握基本概念、定義等，余下的時(shí)間用于做習(xí)題的鞏固.考生也可以根據(jù)自己對(duì)于知識(shí)的掌握程度做適當(dāng)?shù)脑鰷p.要保證基礎(chǔ)階段高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)在3個(gè)月內(nèi)完成，線性代數(shù)的復(fù)習(xí)在1個(gè)月內(nèi)完成，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的復(fù)習(xí)在1個(gè)月內(nèi)完成.二、 核心復(fù)習(xí)內(nèi)容1. 教材1） 計(jì)劃安排把握大綱，吃透課本（1） 把握大綱.考試大綱之所以很重要，是因?yàn)樗鼛缀鹾�蓋了考試的所有知識(shí)點(diǎn)和對(duì)考生能力的要求.考試大綱對(duì)考試內(nèi)容的要求有理解、了解、掌握三個(gè)層次；對(duì)方法的要求有掌握、會(huì)(能)兩個(gè)層次.一般來說，要求理解的內(nèi)容、要求掌握的方法，是考試的重點(diǎn).在歷年考試中，這方面考題出現(xiàn)的概率較大;在同一份試卷中，這方面試題所占的分?jǐn)?shù)也較多，不僅要在主要內(nèi)容和方法上多下功夫，更重要的是去尋找重點(diǎn)內(nèi)容與次要內(nèi)容間的聯(lián)系，以主帶次，用重點(diǎn)內(nèi)容提挈整個(gè)內(nèi)容.主要內(nèi)容理解透了，其他的問題迎刃而解.從近幾年的情形來看，考研數(shù)學(xué)大綱基本沒有變化.（2） 吃透課本.課本是數(shù)學(xué)所有知識(shí)的源，所以在復(fù)習(xí)的過程中，一定要牢牢地抓住課本.在復(fù)習(xí)備考的基礎(chǔ)階段，首先要從課本著手，參照考試大綱，建立對(duì)數(shù)學(xué)課本整個(gè)體系知識(shí)脈絡(luò)的宏觀掌握，同時(shí)培養(yǎng)好的復(fù)習(xí)習(xí)慣.需要強(qiáng)調(diào)的是，僅僅粗枝大葉地瀏覽一遍課本是絕對(duì)不行的，只有通過對(duì)課本第二遍、第三遍的反復(fù)研讀，才能真正理解和掌握課本的精華.2） 推薦書目（1） 《高等數(shù)學(xué)》，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，第七版（上、下兩冊(cè)）.（2） 《工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)》，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，第五版.（3） 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，浙江大學(xué)盛驟、謝式千、潘承毅編，第四版.（4） 《考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)引導(dǎo)》，朱祥和主編.3） 復(fù)習(xí)建議在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)該注意高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三科的復(fù)習(xí)順序.在第一遍復(fù)習(xí)中，建議先復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)，再復(fù)習(xí)線性代數(shù)，最后復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).對(duì)于要考數(shù)學(xué)二的同學(xué)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容不在考試的范圍之內(nèi).由于高等數(shù)學(xué)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，首先學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是上佳選擇.同時(shí)，由于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有系統(tǒng)性和連續(xù)性，因此建議一門課程復(fù)習(xí)完畢后，再投入下一門的復(fù)習(xí).當(dāng)然同學(xué)們也可以根據(jù)自己的特殊情況調(diào)整復(fù)習(xí)順序.在第二遍復(fù)習(xí)過程中，建議在腦海中通過線索把所學(xué)的知識(shí)串聯(lián)起來.例如，在復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，一定要把極限論、微分學(xué)和積分學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，前后貫穿，靈活運(yùn)用.在復(fù)習(xí)線性代數(shù)時(shí)，一定要以線性方程組為核心，前后融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來分析問題和解決問題，不要將它們孤立割裂開來.比如，行列式、矩陣、向量、線性方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立割裂的，而是相互滲透、緊密聯(lián)系的.在復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)，考生要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，建立正確的概率模型，綜合運(yùn)用極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、廣義積分、二重積分及級(jí)數(shù)等知識(shí)去分析和解決實(shí)際問題，提高解綜合題的能力.2. 三基（基本概念、基本方法、基本定理）1） 計(jì)劃安排強(qiáng)化基礎(chǔ)，重視三基在復(fù)習(xí)課本的過程中，一定要重視基本概念、基本方法和基本定理.數(shù)學(xué)是一門邏輯性極強(qiáng)的演繹科學(xué)，只有對(duì)基本概念深入理解，對(duì)基本定理和公式牢牢記住，才能找到解題的突破口和切入點(diǎn).通過分析數(shù)學(xué)答卷可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)楹雎粤巳�基而失分的現(xiàn)象在近年的考試中出現(xiàn)很多.考生失分的一個(gè)重要原因就是對(duì)基本概念、定理記不全、記不牢、理解不準(zhǔn)確，對(duì)基本解題方法掌握不好等；大多數(shù)考生往往因?yàn)橐粋�(gè)考點(diǎn)沒掌握而影響了整道題的運(yùn)算，最終導(dǎo)致失分.如果對(duì)數(shù)學(xué)中最基本的方法掌握不好，則會(huì)給解題帶來思維上的困難.例如，判斷狄利克雷函數(shù)在x=0處的間斷點(diǎn)類型，在這道題上犯錯(cuò)誤的同學(xué)不在少數(shù).原因主要有二：一是對(duì)極限的性質(zhì)還很模糊，沒有分清函數(shù)在一點(diǎn)處有定義和函數(shù)在一點(diǎn)存在極限的區(qū)別；二是沒有深入理解間斷點(diǎn)的類型，不了解第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)的本質(zhì)區(qū)別.這道題大家如果對(duì)照著課本一步一步做，幾乎沒有人會(huì)做錯(cuò)，而如果脫離了課本，很多人卻感覺模棱兩可.可導(dǎo)、可積等概念也是如此，其易錯(cuò)點(diǎn)有待大家在復(fù)習(xí)時(shí)挖掘.因此，在復(fù)習(xí)過程中，一定要針對(duì)大綱和課本具體研究，將二者有機(jī)結(jié)合起來，重點(diǎn)要把三基打牢固.2） 復(fù)習(xí)建議第一，基礎(chǔ)需全面.在備考復(fù)習(xí)的實(shí)踐中，可能會(huì)遇到一些非�；�本，而課本中又未明確給出的知識(shí)點(diǎn)，有些甚至是高中所學(xué)的知識(shí)，例如，三角函數(shù)的運(yùn)算（和差角公式、積化和差公式、二倍角公式、半角公式等）、兩點(diǎn)之間距離公式、階乘公式、韋達(dá)定理，以及冪指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的變換等.這些內(nèi)容雖然很基礎(chǔ)，但復(fù)習(xí)的時(shí)候絕不能忽略，一旦出錯(cuò)會(huì)影響后續(xù)的運(yùn)算，甚至有些時(shí)候，它們可能會(huì)成為考試解題的突破點(diǎn).例如：loga（xy）=logax logay，其中x＞0，y＞0，這個(gè)式子可以作為滿足f（xy）=f（x） f(y)的一個(gè)特殊函數(shù)，進(jìn)行特殊化處理，也可以運(yùn)用到求含復(fù)雜運(yùn)算的對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中（例如，求y=ln3x2ex（x＞0）的導(dǎo)數(shù)，可先將式子變形為y=ln32 lnx 12lnex，易得其導(dǎo)數(shù)為y=1x 12，其他不再一一舉例）.第二，復(fù)習(xí)方法須得當(dāng).在復(fù)習(xí)中，首先通過課本的目錄熟悉一下各章節(jié)的內(nèi)容，然后吃透基本的概念、定理、例題，對(duì)一些重要的概念、公式要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶，同時(shí)通過課后習(xí)題進(jìn)行鞏固.對(duì)于一些易混淆的概念，可以通過相互比較來進(jìn)行區(qū)分，把握課本前后內(nèi)容的相互聯(lián)系.例如，在講到函數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性、對(duì)稱性和凸凹性等性質(zhì)進(jìn)行歸納和總結(jié)，以便靈活運(yùn)用.3. 例題和課后習(xí)題1） 計(jì)劃安排強(qiáng)化基礎(chǔ)，重視三基課本中的例題都是很簡單的，能夠成為例題，說明它們必然有其經(jīng)典之處，請(qǐng)大家細(xì)心體會(huì).再有就是課后習(xí)題，盡管在一道大題中，每一道小題看起來都差不多，但如果不一道一道認(rèn)真做，是很容易忽視一些細(xì)節(jié)問題的.例如：x=0是否是y=arctan(1/x)的一條垂直漸近線？如果y=xsin(1/x)在x趨于正無窮大和負(fù)無窮大時(shí)的極限都存在，是否它就有兩條水平漸近線？對(duì)于第一個(gè)問題，首先我們應(yīng)該明白垂直漸近線，是在自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)，其函數(shù)趨于無窮，因此，當(dāng)x趨于0 時(shí)，1/x趨于正無窮，arctan(1/x)趨于2，不是趨于無窮大，而當(dāng)x趨于0-時(shí)，arctan(1/x)趨于-2，不是趨于無窮大.由此可見，x=0不是y=arctan(1/x)的一條垂直漸近線，而且，還能得出x=0是y=arctan(1/x)的第一類間斷點(diǎn)，類型為跳躍間斷點(diǎn).而對(duì)于y=xsin(1/x)，當(dāng)x趨于正無窮大和負(fù)無窮大時(shí)，1/x均趨于0，根據(jù)limy=limsin(1/x)1/x=1，可知當(dāng)x趨于正無窮與負(fù)無窮時(shí)，其只有一條漸近線，為直線y=1.此處不再一一舉例.另外，每章的總復(fù)習(xí)題中的部分題目就是歷年考研真題，其重要性不言而喻.4. 強(qiáng)化訓(xùn)練1） 計(jì)劃安排多動(dòng)手，熟能生巧很多考生存在這樣的問題：書看了，就以為會(huì)了，或者做題時(shí)只是在草稿紙上畫兩下，并沒有認(rèn)真地算，而等到真正動(dòng)手做的時(shí)候，錯(cuò)誤百出.這是個(gè)很大的問題.數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，容不得半點(diǎn)紕漏，在還沒有建立起完備的知識(shí)結(jié)構(gòu)之前，若只看解題而不親自動(dòng)手做，則必然難以把握題目中的重點(diǎn).這就要求同學(xué)們平時(shí)復(fù)習(xí)的時(shí)候，切勿眼高手低，對(duì)待一些基本的運(yùn)算題不能光看會(huì)，而不去算.不是說每道題都認(rèn)真地做到底，但每一種類型的計(jì)算題都應(yīng)該拿出一定量進(jìn)行練習(xí)，這樣才能提高計(jì)算的準(zhǔn)確率，保證會(huì)做的題目真正能夠得分.而且，通過動(dòng)手練習(xí)，還能幫助同學(xué)們規(guī)范答題模式，提高解題和運(yùn)算的熟練程度.正式考試時(shí)3個(gè)小時(shí)那么大的題量，本身就是對(duì)計(jì)算能力和熟練程度的考查.因此，為了取得好的數(shù)學(xué)成績，要求必須大量練習(xí).2） 復(fù)習(xí)建議在做題的過程中，一定要重視總結(jié)歸納解題思路、方法和技巧.很多同學(xué)做題的過程就到核對(duì)過答案或是糾正過錯(cuò)誤就結(jié)束了.建議大家在糾正完錯(cuò)誤之后，再把題目從頭看一遍，總結(jié)一下自己都在哪些方面出錯(cuò)了，原因是什么，這道題中有沒有出現(xiàn)自己不知道的新的方法、思路，新推導(dǎo)出的定理、公式等，并把這些有用的知識(shí)全都寫到筆記本上，以便隨時(shí)查看和重點(diǎn)記憶.對(duì)于大題的解題方法，要仔細(xì)想一想，都涉及哪些科目和章節(jié)、這些知識(shí)點(diǎn)之間有哪些聯(lián)系等，從而使自己所掌握的知識(shí)系統(tǒng)化，以達(dá)到融會(huì)貫通.只有這樣，才能使做過的題目實(shí)現(xiàn)其最大的價(jià)值.如果你能夠這樣做，那么做過的題在以后的復(fù)習(xí)中如果沒有時(shí)間，就不用再拿出來重新看了，因?yàn)槟阋呀?jīng)把要掌握的精華總結(jié)好了，只需看筆記本就行了.5. 思維的訓(xùn)練1） 計(jì)劃安排多歸納總結(jié)，發(fā)散思維思維上的訓(xùn)練存在于整個(gè)復(fù)習(xí)過程中，在最后考試的時(shí)候得以充分檢驗(yàn).在平常的復(fù)習(xí)過程中，要有意識(shí)地培養(yǎng)逆向思維、抽象思維和定向思維的能力.在訓(xùn)練中，要注意理解和總結(jié)一些技巧性的東西，有意識(shí)地提高自己思維的靈活性.要爭取一題多種解法，即概念要相通，在自我訓(xùn)練過程中多思考，靈活運(yùn)用概念原理.同時(shí)，要多了解歸納數(shù)學(xué)命題中常用到的一些思想.這里列舉一些，供同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中學(xué)習(xí)、領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用、掌握.（1） 數(shù)形結(jié)合的思想：利用圖形來求解數(shù)學(xué)問題是一種非常簡便、有效的常用手段，有時(shí)可將復(fù)雜問題直觀化、簡單化；對(duì)于有些問題，必須要畫出圖形，才能進(jìn)行求解，例如，求曲線在某點(diǎn)的曲率中心坐標(biāo)，斜率、導(dǎo)數(shù)與正切角的關(guān)系，等等. （2） 放縮的思想：可廣泛地應(yīng)用于夾逼法則求極限、證明不等式、求上下界等問題上.它是一種對(duì)技巧性要求較高的方法，通常需要對(duì)問題進(jìn)行合適的變形才可以得出所要的結(jié)論.（3） 換元的思想：求抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、求偏導(dǎo)、求微分、利用三角換元來進(jìn)行不定積分或圓和橢圓等曲線方程的計(jì)算、第一換元積分、第二換元積分、曲線積分、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等問題，均可利用換元的思想進(jìn)行變換從而得以解決.（4） 構(gòu)造函數(shù)的思想：通過構(gòu)造某種函數(shù)，可以使問題得以轉(zhuǎn)化，從而利用所構(gòu)造函數(shù)的各種性質(zhì)和運(yùn)算得以解決.例如，構(gòu)造函數(shù)的思想可應(yīng)用于拉格朗日中值定理的證明，結(jié)合函數(shù)的極值和最值或者零值定理、介值定理等定理來進(jìn)行不等式的證明，以及用于實(shí)際應(yīng)用等題目中，這是一種解決問題極為有效的手段.（5） 方程（組）解的思想：許多問題，例如，求某些微分方程的特解、求曲線方程的交點(diǎn)、線性代數(shù)中形如AX=B（其中A和B為矩陣或者向量）等，都可以歸結(jié)為求方程（組）解的問題.這些解常常是對(duì)應(yīng)函數(shù)在一定條件下的臨界點(diǎn).通過對(duì)它們進(jìn)行討論，就可得出對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì).例如，一元二次方程F（x）=0在>0條件下的解將坐標(biāo)軸分成了3個(gè)區(qū)間，可利用數(shù)形結(jié)合來討論對(duì)應(yīng)函數(shù)F（x）在某特定區(qū)間的符號(hào)等.（6） 從特殊到一般的思想：常用于求微分方程、求mn線性方程組等的通解的問題中，通過求解出某些特解，從而可得到通解的一般形式；泰勒展開式、麥克勞林展開式等也可看作通過某些特殊點(diǎn)的函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)值而得出函數(shù)的一般表達(dá)式.此外，數(shù)學(xué)歸納法也可看作是從特殊到一般過渡的一種推理方法.在實(shí)際做選擇題時(shí)，可利用某些特殊值和特殊函數(shù)，迅速得出結(jié)果.（7） 拆分的思想：拆分的思想實(shí)質(zhì)上是化整為零，逐個(gè)擊破.例如：利用題目所給條件或者被積函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等，進(jìn)行積分上下限的分割，用分割法求定積分面積、求體積、求曲面積分，等等.分類討論也可歸為此類思想，當(dāng)題目中所給的條件存在著多種可能結(jié)果時(shí)，常需要進(jìn)行討論.例如：討論曲線方程F(x)和G（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，常常通過轉(zhuǎn)化為F(x)-G（x）=0，并判斷有幾個(gè)解來解決.（8） 湊的思想：在解決求極限、利用定義湊導(dǎo)數(shù)的形式、證明不等式、分式的拆分等問題和定積分類實(shí)際應(yīng)用題中利用模型湊出被積函數(shù)從而進(jìn)行積分，以及線性代數(shù)中湊上三角、下三角來求行列式的值，湊零來簡化行列式的運(yùn)算等問題中，常用到湊的思想. 這種方法也往往要一定的技巧，需要進(jìn)行訓(xùn)練.（9） 取反的思想：在不方便直接求解問題時(shí)，常常可通過求解其反面來解決，原理可表示為A所求=A總-A余.例如：在所求圖形的面積較難計(jì)算而總面積和其他部分的面積易求時(shí)，可利用取反來解決；在計(jì)算復(fù)雜事件的概率時(shí)，通過先求其對(duì)立事件概率，進(jìn)而求得所求事件的概率.此外，求逆矩陣、求反函數(shù)也可歸為此類，有時(shí)可以方便地解決問題.數(shù)學(xué)是一門博大精深的學(xué)科，其中蘊(yùn)含著豐富的思想和智慧，有待大家在學(xué)習(xí)中慢慢發(fā)現(xiàn)、體會(huì)、領(lǐng)悟.只有掌握了這些思想，才能看透題目的本質(zhì)，做到融會(huì)貫通，以不變應(yīng)萬變.特別應(yīng)該強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，那就是數(shù)學(xué)當(dāng)中所有用到的定理、思想、方法都有一定的適用范圍和條件，在解題之前必須要進(jìn)行觀察和判定，以免掉入命題者的陷阱，例如，洛必達(dá)法則適用于求0/0型或者無窮/無窮型的極限，用它求極限之前必須判斷是否滿足這兩種類型，如果不滿足而用了洛必達(dá)法則，結(jié)果肯定會(huì)出錯(cuò).這就要求必須學(xué)會(huì)讀題，練就一雙慧眼，學(xué)會(huì)從題目所給的條件中提煉出有效、正確的信息，來引領(lǐng)解題思路.這必須要通過扎實(shí)基礎(chǔ)、多做題、多練習(xí)、多獨(dú)立分析題目來強(qiáng)化.只有我們面對(duì)一道題時(shí)，知道它要考什么，有哪些條件可以利用，才能正確地解答出題目.三、 學(xué)習(xí)建議6月以前：第一輪基礎(chǔ)復(fù)習(xí).7月9月：第二輪強(qiáng)化復(fù)習(xí).10月11月中旬：第三輪沖刺復(fù)習(xí).11月中旬考前：第四輪點(diǎn)睛復(fù)習(xí).
朱祥和
2016年10月于中國人民大學(xué)靜園